f Tatanos: Równanie. f(f(x)) = x jak to rozwiązać? Zróżniczkować po x, dalej scałkować?

Basia: a coś o tej funkcji wiadomo ? jest różniczkowalna, całkowalna, różnowartościowa ? nie mogę różniczkować jeżeli nie wiem czy w ogóle jest różniczkowalna itd. najłatwiej byłoby gdyby było wiadomo, że jest różnowartościowa

Tatanos: Załóżmy, że jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

PW: Dwa rozwiązania można zgadnąć: f₁(x)=x

	1
f2(x)=
	x

Kto da więcej (albo udowodni, że innych nie ma)?

PW: Są, te funkcje co wyżej wzięte z minusem oraz "sklejane" z tych czterech osobno dla x>0 i dla x<0.

Basia: skoro zapis f(f(x)) ma sens to musi być różnowartościowa bo gdyby nie była to byłoby tak: ∃_x1≠x2 f(x₁)=f(x₂) = y ⇒ f(f(x₁)) = f(y) = f(f(x₂)) i f(f(x₁))=x₁ i f(f(x₂)) = x₂ ⇒ x₁=x₂ sprzeczność a skoro jest różnowartościowa to istnieje f⁻¹(x) i mamy f⁻¹(f(f(x)) = f⁻¹(x) f(x) = f⁻¹(x) a to jest możliwe ⇔ f(x) = x Artur z ............. rzuć na to okiem

Basia:

	1
⇔ f(x) = x lub f(x) =
	x

zżarło mi

PW: Pytanie jest intrygujące, można wymyślić takie dziwactwa, jak: f(x)=x dla x wymiernych

	1
f(x)=		dla x niewymiernych
	x

− też działa. Jeżeli pytanie było o to, czy istnieją takie funkcje, to już kilka przykładów mamy. Wymyślać można dalej, szkoda że Tatanos stracił zainteresowanie.