NWD, indukcja, wyznaczanie ostatniej cyfry... My Hinami: Cześć. Potrzebuję wyjaśnienia trzech zadanek przed kolosem. Zależy mi na pomocy z rozwiązaniem + w miarę zrozumiałym wytłumaczeniu dlaczego tak, a nie inaczej... Z góry baaardzo, bardzo dziękuję! 1. Przedstawić NWD(2772,360) w postaci 2772k + 360m, gdzie k, m ∊ Z. 2. Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby 7²⁰¹³ 3. Korzystając z indukcji matematycznej pokazać, że 7 | 10³ⁿ⁺¹ − 3 * (−1)ⁿ

wredulus_pospolitus: ach ta teoria liczb 2. 7²⁰¹³ = 7*7²⁰¹² = 7*49¹⁰⁰⁶ a teraz wiesz, że 49 (mod10) = −1 (mod10) 7*49¹⁰⁰⁶ (mod 10) = 7*(−1)¹⁰⁰⁶ (mod 10) = 7*1 (mod10) = 7 ogólna zasada −−− tak potęgujesz wykładnik aby zbliżyć sie do liczby która (mod10) = +/−1 (mod 10) w tym momencie ladnie uprawszczasz całe wyrażenie i pozostają banalne obliczenia

wredulus_pospolitus: 3. n=1 10⁴ − 3*(−1) = 10'000 − 3 = 9997 <−−− pitu pitu ... głupota ... źle przepisane zapewne zadanie

Eta: @verdulus 3/ 10⁴ +3= 10003 :7=1429

wredulus_pospolitus: aaaa faktycznie

wredulus_pospolitus: a nawet dobrze zapisałem tyle że się w pamięci nie powinno opuszczać nawiasow

My Hinami: Niestety...teoria liczb Odnośnie zadania trzeciego przepisane jest dobrze i mam nawet rozwiązanie (chyba) ale nie bardzo rozumiem w pewnych momentach co się wzięło z czego. 3. 7 | 10{3n+1} − 3 * (−1)ⁿ − Sprawdzenie dla n = 0 10^3*0+1 − 3 * (−1)⁰ = 10 − 3 = 7 = 7 * 1 − Założenie Założenie: 10^3k+1 − 3 * (−1)^k = 7t ∧ t ∊ N − 10^3k+1 = 3 * (−1)^k + 7t Teza: 10^3(k+1)+1 − 3 * (−1){k+1) = 7s ⋀ s ∊ N 10^3k+4 − 3 * (−1)^k+1 = 7s ⋀ s ∊ N − Dowód − I tego to już kompletnie nie rozumiem...i czy w ogóle to rozwiązanie ma jakiś sens (sic!) 10^3k+4 − 3 * (−1)^k+1 = 10^{3k +1} * 10³ − 3 * (−1)^k+1 = 10³(3 * (−1)^k + 7t) − 3 * (−1)^k * (−1) = 3 * (−1)^k * 10³ + 10³ * 7t − 3 * (−1)^k * (−1) = 3 * (−1)^k * (10³ + 1) + 10³ * 7t = 1001 * 3 * (−1)^k + 10³ * 7t = 7(143 * 3 * (−1)^k + 10³) = 7s

wredulus_pospolitus: My Hinami −−− nie miales/−aś indukcji matematycznej w liceum dowód zawsze polega na tym, że udawadniamy prawdę wyrażenia dla 'n=k+1' ... w trakcie dowodu wykorzystujemy założenie z 'n=k' w ten sposób mamy ... że skoro to jest prawdą na k ... to także dla k+1 jako że na początku udowodniłeś to dla najmniejszego n=0 ... to w konsekwecji udowodnileś także dla n=1 ... więc i dla n=2 ... i dla n=3 ... itd. a tutaj 'dowod' mi się nie podoba 10^3k+4 −3*(−1)^k+1 = 1'000*10^3k+1 −3*(−1)^k*(−1) = 1'000*10^3k+1 +3*(−1)^k = = 1'000*10^3k+1 −3*(−1)^k*1000 + 3*(−1)^k*1'003 = 1'000*(10^3k+1 −3*(−1)^k) + 3*1'003*(−1)^k i teraz: "10^3k+1 −3*(−1)^k" jest podzielne przez 7 z zalożenia "1003" podzielne przez 7 (na kalkulatorze możesz sprawdzić ) c.n.w.

My Hinami: Niestety kończyłem technikum z okrojoną matmą (max 2h w tygodniu) +1h dodatkowa i tak jakby teraz mam braki... Ten dowód też bardzo mi się nie podoba niestety...dzięki za naprowadzenie. PS. 1003 nie jest podzielne przez 7 (reszta). 1001 owszem Jeśli ktoś będzie miał inne pomysły odnośnie któregokolwiek zadania to bardzo chętnie je poznam