Dowód jeszcze raz. Pomoże ktoś? pytajka:

	1		1		1
Wykaż, że jeśli a1<a2<a3<...<an, to równanie		+		+...+		=0
	x−a1		x−a2		x−an

ma w każdym z przedziałów (a_i,a_i+1) dokładnie jeden pierwiastek.

PW: A pochodną funkcji po lewej stronie równania policzyłaś?

Artur_z_miasta_Neptuna: Wybieramy 'i' a₁<a₂<a₃<...<a_i−1<a_i czyli:

1		1		1
	+		+ ... +		>0
x−a1		x−a2		x−ai−1

an>a_n−1>...>a_i+2>a_i+1 czyli:

1		1
	+ ... +		<0
x−an		x−ai+2

oznaczmy:

1		1		1		1		1
	+		+ ... +		+		+ ... +		= c
x−a1		x−a2		x−ai−1		x−an		x−ai+2

wykażemy, że:

	1		1
∃{x∊(ai;ai+1)		+		= −c
	x−ai		x−ai+1

	1		1
limx−>ai+ (		+		) = +∞
	x−ai		x−ai+1

	1		1
limx−>ai+1− (		+		) = −∞
	x−ai		x−ai+1

1		1
	+		w przedziale x∊(ai;ai+1) jest funkcją ciągłą
x−ai		x−ai+1

wniosek −> funkcja przyjmuje w tym przedziale KAŻDĄ wartość ... czyli także '−c' stąd wynika, że w tym przedziale jest CO NAJMNIEJ jeden pierwiastek.

	1		1
Teraz wystarczy tylko pokazać, że f(x)=		+		jest funkcją malejącą w
	x−ai		x−ai+1

tymże przedziale (co nie jest chyba trudne do wykazania bo po przekształceniach:

	2x − ai − ai+1
f(x) =		i łatwo to dalej wykazać)
	(x−ai)(x−ai+1)

A wnioskiem z tego będzie ... że w danym przedziale jest dokładnie 1 miejsce zerowe jako, że wybraliśmy dowolny przedział (a_i, a_i+1) to prawdą jest to dla dowolnego przedziału c.n.w.