Równanie Trygonometryczne pasażer: WIELKIE POMOCY! sin4x−cos5x=0 w przedziale <0,^π₂>. Poomożecie? Mam na to pomysł, ale nie umiem zakończyć.

kylo1303: sin4x=cos5x wzory redukcyjne, zamieniasz np. cosinusa na sinusa i przyrownujesz katy

Tomek: cos5x=cos(4x+x)=co4x*cosx−sin4x*sinx a potem rozpisujesz jako np sin4x=2sin2xcos2x

pasażer: właśnie .. wiem. Tylko nie umiem doprowadzić do końca. doszłam do takiej postaci: sin4x=sin(^π₂−5x) i tutaj zaczyna się mój dylemat. Jak dokończyć do zadanie? Ze względu na taką ciasną dziedzinę? 4x=^π₂−5x+2kπ V 4x=π−^π₂+5x+2kπ dobrze? Bo czuje, że coś mieszam już

pasażer: o, Tomek o takim rozwiązaniu nie pomyślałam. Za chwile nim pokombinuje Ale pomoglibyśmy mi z tym pierwszym sposobem?

Bogdan:

	π		π
dla x∊<0,		>: sin4x = cos5x ⇒ sin4x = sin(		− 5x)
	2		2

	π		π		π
4x =		− 5x ⇒ 9x =		⇒ x =
	2		2		18

kylo1303: Bogdan już napisał rozwiązanie, ale tak abstrahując od tego zadania, przedziały wykonałeś poprawnie, wtedy przenosisz "iksy" na jedną stronę i miałbyś rozwiązanie

pasażer: dziękuję! Tak wlaśnie kombninowałam Bogdan, ale ktoś mi powiedział, że ma być więcej niż jedno rozwiązanie żadnego okresu (2kπ?) nie dodajemy?

Bogdan:

	π
rozwiązanie jest w pierwszej ćwiartce, x∊<0,		>
	2

pasażer: Ja przepraszam, jeśli bluźnię (mózg mi się przegrzewa na 2 tygodnie przed maturą. ) Ale.. tak, dziedzina jest określana w pierwszej ćwiartce, ale nasz wykres sin4x, jest 'zwęzony' czterokrotnie, więc defacto cały wykres nad się mieści w ^π₂ czyli.. powinny być 2 rozwiązania?

Bogdan: Gratuluję dociekliwości. Zawsze można przeprowadzić analizę rozwiązania bez zawężania dziedziny.

	π
sin4x = sin(		− 5x}
	2

	π		π
4x =		− 5x + k*2π lub 4x =		+ 5x + k*2π
	2		2

	π		π
9x =		+ k*2π lub x = −		− k*2π
	2		2

	π		2π		π
x =		+ k*		lub x = −		− k*2π
	18		9		2

	π		4π		π		π
dla k = −2: x =		−		< 0 lub x = −		+ 8π >
	18		9		2		2

dla k = −1: ... itd, spróbuj dalej samodzielnie

kylo1303:

	π
Chyba masz rację, tak na szybko patrząc to na pewno rozwiązaniem będzie jeszcze x=
	2

pasażer: Bardzo dziękuję. wyszły trzy rozwiązania, ^π₁₈ , ^5π₁₈, ^π₂, wszystko się zgadza!

pasażer: ps. jak Wy to robicie, że te ułamki są takie wyraźne?

sinus:

sinus: zamiast małego u dajesz U

pasażer: faktycznie, ślicznie dziękuję!