pomocy kaśka: udowodnij, żę dla dowolnych liczb dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność (^√a2+1_a ) (^√b2+1_b ) ≥ ¹_a + ¹_b

kaśka: czy ktoś umie?

PW: Po zapisaniu lewej strony w postaci jednego pierwiastka otrzymamy √(1+¹_a²)(1+¹_b²)=√1+¹_a²+¹_b²+¹_a²b² pod pierwiastkiem (tego dobrze nie widać, więc dalej piszę bez pierwiastka) są składniki:

1

1

1

1

1

2

1

1+

+

+

=(

+

)2+1−

+

a2

b2

a2b2

a

b

ab

a2b2

	1		1		2		1
= (		+		)2+1−		+
	a		b		ab		a2b2

	1		1		a2b2−2ab+1
= (		+		)2 +
	a		b		a2b2

	1		1		(ab−1)2		1		1
=(		+		)2+		≥(		+		)2.
	a		b		a2b2		a		b

	1		1		1		1
Pierwiastek z tego wyrażenia jest równy |		+		|=		+		,
	a		b		a		b

co kończy dowód

use: Na początek sprowadzam do wspolnego mianownika i dodaje ulamki z prawej strony nierownosci. Ze wzgledu na to ze sa to liczby z zalozenia dodatnie mnoze obustronnie przez ab(czyli mianownik sie mi skróci) wiec dostaje : √ (a²+1)(b²+1)≥a+b/² ( moge podniesc do kwadratu bez zmiany nierownosci bo sa to liczby dodatnie co wiem z zalozenia) (a²+1)(b²+1)≥a²+2ab+b² a²b²+a²+b²+1≥a²+2ab+b² a²b²−2ab+1≥0 (ab−1)²≥0 ⇒ otrzymałem kwadrat roznicy ktory jest zawsze wiekszy badz rowny 0

use: Nie wiem czy tylko ja mam takie wrazenie ale PW chyba nieco przekombinowal

PW: Nie. Twój dowód zawiera elementarny błąd logiczny − skorzystałeś z tezy i doszedłeś do jakiegoś zdania prawdziwego. Nic to nie mówi o wartości logicznej tezy. Powtarzam się (pisałem to już w kilku takich zadaniach) − jest to przykład nieznośnej maniery dowodzenia twierdzeń "wychodząc od tezy". To nie jest poprawny dowód.

use: może i nieznośnie ale polecam zajrzec do informatora maturalne takie dowody są prawidłowe

Kaja: Przekształcenia są równoważne, więc skoro na końcu otrzymujemy prawdziwą nierówność to ta pierwsza też jest prawdziwa. Zobacz sobie do kluczy odpowiedzi do poprzednich matur jak są dowody przeprowadzane. Możesz też przeprowadzić dowód nie wprost.

PW: Kaja, zgadzam się, że można przeprowadzić dowód przekształcając tezę równoważnie i dochodząc w ten sposób do zdania prawdziwego. Tyle, ze warunkiem niezbędnym jest napisanie: wszystkie kolejne przekształcenia dają nierówność równoważną. Dopiero Ty to napisałaś. Jeżeli nie używa się symbolu "⇔" ani nie pisze tego słowami, to przyjmuje się, że jest to ciąg wynikań, a nie równoważności. A tak żebyśmy się dobrze rozumieli: ja nie muszę zaglądać sobie do informatora ani oglądać sobie kluczy odpowiedzi. Irytuje mnie za to facet, który komentuje, że poprawny dowód jest "przekombinowany".

Kaja: PW dla jasności to żeby zobaczyć do kluczy odpowiedzi nie było pisane do Ciebie.