Wykaż niewymierność liczby p3{2} + p{3} Clifford: Wykaż niewymierność liczby ³√2 + √3 x = ³√2 + √3 x − √3 = ³√2 // ³ x³ − 3√3x² + 9x − 3√3 = 2 W(x) = x³ − 3√3x² + 9x − 3√3 − 2 Nie moge użyc twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu bo współczynniki nie są całkowite. Co dalej ?

use: mysle ze tak, nie wprost: zakladam ze liczba liczba √3 jest wymierna

	p
czyli √3=		gdzie NWD(p,q)=1
	q

	p2
czyli 3=
	q2

wiec 3*q²=p² ⇒ co daje sp[rzecznosc zatem liczba √3 jest niewymierna wiec bez wzgledu na to co dodamy do liczby niewymiernej to i tak otrzymamy liczbe niewymierną czyli ta suma tez jest niewymierna Q.E.D

Clifford: Czyli równie dobrze móglbym badać to tym swoim sposobem ale np tylko dla x=√3 ?

use: no tak, bo przeciez wystarczy dowiesc ze jedna z liczb jest niewymierna albo obie z osobna są niewymierne wtey ich suma jest niewymierna co raczej jest oczywiste i nawet logiczne ( mysle ze zdecydowanie wystarczy udowodnic niewymiernosc jednej z liczb ktora sklada sie na sume i to juz wystarczy bo niezaleznie od tego drugiego skladnika to nadal otrzymamy liczbe niewymierna

Clifford: Wielkie THX use

PW: use, (1+√3)+(1−√3)=2 − ani oczywiste, ani logiczne.

use: PW − wiedziałem że zaraz pojawi sie jakis "inteligentny" przykład który obali to co napisałem wyzej, jednak nie rozumiem PW co chcesz udowadniac w tym twoim zalosnym przykladzie bo przeciez wszystko sie ładnie doda , liczby niewymierne sie skrócą i dostaniemy liczbe całkowitą jak sam to pieknie zauważełeś .... brak mi słów

PW: Cytuję: "wystarczy dowiesc ze jedna z liczb jest niewymierna albo obie z osobna są niewymierne wtey ich suma jest niewymierna (...) mysle ze zdecydowanie wystarczy udowodnic niewymiernosc jednej z liczb ktora sklada sie na sume i to juz wystarczy" Właśnie pokazałem żałosny kontrprzykład, jak bardzo się mylisz. Można się mylić, często mi się to zdarza, ale zanim się zacznie z kogoś kpić, wypadałoby się trzy razy zastanowić.

use: posłuchaj PW próbuje człowiekowi na chłopski rozum wytłumaczyć , w ten sposób rozumowania jaki ty prezentujesz to do wszystkiego można się doczepić, poza tym, chyba normalną rzeczą jest to ,że najpierw się upraszcza do najprostszej postaci wyrażenie czyli odejmuje dodaje co się da i jak teraz otrzymam już liczbe np √2+√3 albo √2+2 to to wyrazenie zawsze będzie niewymierne , i oczywiście cieszy mnie fakt że są ludzie którzy wytykają napotkane błędy na forum bo każdy jest tylko człowiekiem, ale na litość w tym przypadku naprawde nierozumiem o co tobie człowieku chodzi, bez obrazy ale naprawde przykłąd który podałeś od razu sie rzuca w oczy że sie to skróci ( i tak poza tym na maturze nie ma zadań takich w których trzeba aż tak kombinowac , wiadomo ze gdyby byl to jakis skomplikowany ulamek to takie stwierdzenie ze sprawdzam jedna i juz wiem ze suma jest niewymierna jest niepoprawna ale chodzilo mi o przyklady typowo maturalne w stylu wykaz ze suma dwoch pierwiastki\ow jest niewymierna to w takim wypadku po co ma sie ktos przemeczac skoro wystraczy jedna liczba ....)

PW: Właśnie o to idzie, że nie wystarczy jedna liczba. Nie można, nawet tłumacząc "na chłopski rozum" używać stwierdzeń fałszywych. Teraz co do metody działania. Znasz to zadanie? Udowodnij, że ³√√5+2−³√√5−2 jest liczbą naturalną. Będziemy sprawdzali, czy pierwszy z pierwiastków jest liczbą naturalną, czy wymierną, czy niewymierną − czy też przeprowadzimy dowód dla całego wyrażenia?

use: czyli ⁶√7−⁶√3 od razu widac ze nie jest to liczba naturalna ( co w tym zadaniu trudnego )

PW: Nie, już nie dyskutuję, bo masz wielką pewność siebie i kłopoty z elementarnymi działaniami.

use: PW; ja tez nie dyskutuje bo widze ze latasz wysoko w przestworzach z tą "swoją" matematyką, więc lataj sobie dalej i daj spokój z tymi docinkami i pouczaniem innych typu " to żle " ,"tamto źle ", "to elematarny błąd" bo jak widać cienko ci to idzie i naprawde jest czasami żenujące, a przykłady którymi się podpierasz w tych swoich "dociekaniach" są naprawde idiotyczne że tak sie wyraze ...pozdrawiam

AC: PW ma świętą rację, suma dwóch liczb niewymiernych może być dowolną liczbą. Wnioskowanie, że suma musi być liczbą niewymierną jest oczywistym błędem i nie ma co tutaj dyskutować

use: AC skoro tak to udowodnij mi to że suma dwóch liczb niewymiernych jest liczbą wymierną...

use: przypomne wam tylko że liczba niewymierna to taka której rozwiniecie dziesietne jest nieskonczone i NIEOKRESOWE co za tym idzie nie jestesmy w stanie przewidziec jak ułożą sie liczby po przecinku co z koleji prowadzi do tego że znalezienie dwoch liczb niewymiernych ktorych suma jest wymierna jest praktycznie niemozliwe ... ale czekam na jakis konkretny powtarzam KONKRETNY I ZROZUMIAŁY DOWÓD wtedy zwróce honor PW i powiem wszem i wobec że sie GRUBO pomyliłem ...

Bogdan: Np.: √2 + (−√2 = 0, (2 + √2) + (2 − √2) = 4 itd. Suma liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną oraz może być liczbą wymierną.

Bogdan: uciekł nawias, √2 + (−√2) = 0

use: tylko z góry chce zaznaczyć że przykład typu (−√5+2)+√5=2 < jest to liczba calkowita > mnie nie interesuje bo w gruncie rzeczy mamy tutaj sytuacje w ktorej nawias mozna postrzegac jako liczbe niewymierną i wtedy oczywiscie suma tych liczb jest wymierna chodzi mi raczej o przykłady typu tego który był wyjsciowym problemem do dyskusji czyli dwa pierwiastki np √2+√3 >> do tego typu przykładów dowod, to wtedy zwracam honor ...

use: Bogdan dodawanie liczb przeciwnych to oczywista sprawa ...

Clifford: Czyli jak w końcu zrobić to zadanie ?

AC: Przykład który podał PW: suma 2 liczb niewymiernych: ³√2+√5 + ³√2−√5 = 1

Clifford: ?

jikA: Bogdan , PW i AC ale jeżeli ktoś się uważa za najmądrzejszego na świecie to niestety ale nie wpoi mu się że osoba zwracająca uwagę nie chciał go skrytykować tylko poprawić jego rozumowanie i wskazać mu gdzie rozumuje źle aby na przyszłość wiedzieć. Pozdrawiam. Co do zadania to Twoim wielomianem może być x⁶ − 9x⁴ − 4x³ + 27x² − 36x − 23 = 0.

Clifford: Mógłbyś mi napisać po kolei jak to wyprowadziłeś ?

AC: Dowód nie wprost. załóżmy, że suma ³√2 + √3 jest liczbą wymierną oznaczmy: ³√2 + √3 = w gdzie w oznacza liczbę wymierną. stąd ³√2 = w − √3 podnosimy do sześcianu 2= w³ − 3w²√3 + 9w − 3√3 = w³ + 9w − 3(w² +1)√3 ⇒

	w3+9w−2
⇒ √3 =
	3(w2+1)

i tutaj jest sprzeczność bo po prawej stronie mamy wyrażenie wymierne, a wiadomo że √3 jest liczbą niewymierną.

jikA: x = ³√2 + √3 x − √3 = ³√2 / ³ x³ − 3√3x² + 9x − 3√3 = 2 x³ + 9x − 2 = 3√3(x² + 1) / ² x⁶ + 81x² + 4 − 36x + 18x⁴ − 4x³ = 27(x⁴ + 2x² + 1) x⁶ − 9x⁴ − 4x³ + 27x² − 36x − 23 = 0.

Clifford: Ooo super. Rozumiem. DZięki. Mam jeszcze pytanie − jak jikA rozłożył to na czynniki całkowite ?

Clifford: Haha, nie zdążyłęm zdania napisać. Wielkie dzięki jeszcze raz