prawdopodobieństwo - dlaczego ciąg a nie zbiór ? colare: witam! mam tutaj zadanko z matury próbnej operonu, chyba z 2010: W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że wylosowane w ten

	13
sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o		mniejsze od prawdopodobieństwa,
	33

że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie. wszystko fajnie, potrafię to rozwiązać tylko nie rozumiem dlaczego ważna jest tu kolejność wyciąganych skarpet (innymi słowy: dlaczego liczymy wszystko na ciągach) ? nie ma różnicy jaką wyciągnę najpierw bo liczy się efekt końcowy, więc dlaczego zdarzenie wylosowania skarpet różnych kolorów musi być: P(RK) = (2z)(z) + z(2z) = 4z² zamiast

	2z 1	z 1
P(RK =			= 2z2

co za różnica jaką najpierw wyciągnę!? bardzo bym prosił o jakąś wskazówkę

PW: A dlaczego zdarzenia elementarne opisywać jako ciągi? Wyciąganie po kolei − najpierw jednego przedmiotu, potem drugiego (bez zwracania tego pierwszego) to przecież to samo, co od razu wsadzić łapę i wyciągnąć dwa przedmioty.

colare: no właśnie dla mnie to też bez sensu. ale odpowiedź w zadaniu domaga się się P(RK) = 4z², co można uzyskać tylko i wyłącznie traktując to zdarzenie (i automatycznie wszystkie inne) jako ciąg. jak zobaczyłem odpowiedź to się bardzo zdziwiłem.

PW: 2n − liczba skarpetek zielonych, n≥1 (skarpetki występują w parach, stąd 2n) 4n − liczba skarpetek niebieskich Razem 6n skarpetek. Zdarzeniem elementarnym jest każdy dwuelementowy podzbiór zbioru 6n−elementowego.

	6n 2
(1) |Ω|=		=k

(k to tylko skrót dla uniknięcia "piętrowych" ułamków).

	2n 2
Zdarzenie Z − "wyciągnięto 2 skarpetki zielone" ma		elementów

Zdarzenie D − "wyciągnięto skarpetki różnych kolorów" ma 2n•4n=8n² elementów.

	13
P(Z)+		=P(D).
	33

	2n 2		13		8n2
		+		=
	k		33		k

	2n 2		13
		+k		=8n2
			33

	2n(2n−1)		13
		+k		=8n2
	2		33

33•n(2n−1)+13k=264n², a po przypomnieniu oznaczenia (1)

	6n 2
33n(2n−1)+13		=264n2

	6n(6n−1)
33n(2n−1)+13		=264n2
	2

33(2n²−n)+13•3(6n²n−n)=264n² 66n²−33n+234n²−39n=264n² 36n²−72n=0 36n(n−2)=0 n=2 (bo n>0) Odpowiedź: W szufladzie było 6•2=12 skarpetek.

colare: nie wiem czy to założenie że skarpetki są do pary jest słuszne, ale dziękuję bardzo serdecznie

PW: Normalni ludzie wyrzucają tę prawą, jeśli w lewej zrobiła się dziura (no, chyba że są bardzo bogaci). A wynik zgadza się z odpowiedzią?

colare: zgadza się, ale w rozwiązaniu proponowanym przez operon nie stwierdzają, że skarpetki są do pary, tylko właśnie liczą na ciągach.

PW: Znaczy się ponumerowali te skarpetki na czas rozwiązania? Nie wiem jak nierozróżnialne twory można ustawić w ciąg i mówić, że jeden ciąg jakoś się różni od drugiego (czyli umiem policzyć ich liczbę). A próbowałeś zastosować moją metodę bez założenia parzystości, to znaczy dla n zielonych i 2n niebieskich?

Basia: mnożna; ponaklejali na nie karteczki z numerkami pogódź się PW z tym, że w szkole obracamy się w Ω, w której zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a elementy rozróżnialne bo dla nierozróżnialnych nie zawsze da się uzyskać jednakowe prawdopodobieństwo zdarzeń elementarnych, a to już ma daleko idące konsekwencje i w wielu wypadkach wymaga znajomości matematyki dyskretnej zrobiono więc tak, żeby już było konsekwentnie, chociaż tak jak w tym zadaniu niepotrzebnie jeżeli się nie zgadzasz to zwróć się do komisji programowej (chociaż prawdę mówiąc szkoda czasu bo i tak to oleją, no chyba żeby tak kilka tysięcy maili w jednym czasie posłać, to może dotrze) założenie o parzystości zielonych jest niczym nie uprawnione nigdy nie miałeś kilku jednakowych par ? wtedy wyrzuca się podartą, a drugą zostawia, bo jutro znów może się jakaś z takiej samej pary podrzeć i będzie "jak znalazł" tak robią ludzie niekoniecznie bardzo bogaci, raczej przewidujący

PW: colare, dobrze że wątpisz, i masz rację. Szkoda, że nie sprawdziłeś mojego sposobu dla n zielonych i 2n niebieskich − bez założenia parzystości. Rozwiązaniem odpowiedniego równania jest n=4, a więc również odpowiedź brzmi: 12 skarpetek. Nie daj się namówić na numerowanie skarpetek, jest to nienaturalny sposób, nie oddający rzeczywistego charakteru losowania. Losujemy podzbiory dwuelementowe, a nie ciągi. To,że najpierw wyciągnęliśmy jedna skarpetkę, a następnie drugą − wcale nie znaczy, że utworzyliśmy ciąg. Dalej są to tylko dwie skarpetki (zbiór). Przyznaję, że moje rozwiązanie było pewną prowokacją (chciałem, żebyś sam sprawdził, czy założenie parzystości jest konieczne). Na szczęście autor zadania przewidział taki sposób myślenia i dobrał dane tak, żeby rozwiązanie było parzyste. Tak trzymaj, wątpienie jest podstawą istnienia wedle Kartezjusza. Na numerowanie skarpet nie daj się namówić, bo popadniesz w obłęd. Skomentować mogę tak: Do pewnych zadań można tworzyć różne modele matematyczne, które prowadzą do poprawnych wyników. Model zaproponowany przez operon nie jest najszczęśliwszy (sztuczny).