całka nieoznaczona Monika:

	f(x)=x g(x)=arctgx f'(x)=1 g'(x)=11+x2
∫x*arctgx=		=xarctgx−∫arctgxdx=xarctgx−

(N{f(x)=1 g(x)=arctgx}{f'(x)=0

	1
g'(x)=11+x2})arctgx−∫		dx=xarctgx−arctgx+arctgx+c
	1+x2

Basia: źle w pierwszym kroku ∫fg' = f*g − ∫f'g

	1
f = arctgx f'=
	1+x2

g' = x g = ¹₂x²

	1		1		x2
=		x2*arctgx −		∫		dx =
	2		2		1+x2

1		1		1
	x2*arctgx −		* ∫(1−		)dx
2		2		1+x2

dokończ

Mila:

	1		1		x2
∫x arctgx dx =		x2arctgx−		∫		dx= cdn
	2		2		1+x2

	1		1
[ arctgx=u,		dx=du; dv=x, v=∫xdx=		x2]
	1+x2		2

	x2		x2+1−1		1
∫		dx=∫		dx=∫dx−∫		dx=x−arctgx
	1+x2		x2+1		1+x2

	1		1
=cd		x2arctgx−		(x−arctgx)=
	2		2

	1		1		1
=		x2arctgx−		x+		arctgx+C
	2		2		2

Monika: a np ∫arccosx

Mila: przez części

	−1
[ arccosx=u,		dx=du, dv=dx, v=x}
	√1−x2

	−x
∫arccosxdx= xarccosx−∫		dx=xarccosx−√1−x2+C
	√1−x2

Monika:

	−x
rozumiem do momentu xarccosx−∫		dx
	√1−x2

Monika:

Basia: podstawienie t = √1−x²

	1		−x
dt =		*(−2x) dx =		dx
	2√1−x2		√1−x2

	−x
∫		dx = ∫dt = t = √1−x2
	√1−x2

Mila: Podstawienie: [1−x²=t, −2xdx=dt]

1		1
	∫		dt=√t ( patrz wzory podstawowe)
2		√t

= √1−x²

Monika: to jak ∫arcsinx t=√1−x²

	−x
dt=		dx
	√1−x2

	x
−dt=		dx
	√1−x2

to xarcsinx+√1−x²

Monika:

	f(x)=x g(x)cos2x f'(x)=1 g'(x)=−sin2x
∫x*cos2x=		=xcos2x−∫cos2x=xcos2x−0,5x−sin2x/4

Monika:

Basia: ∫x*cos²x dx jedną uznajesz za funkcję; drugą za pochodną i stosujesz wzór ∫f' *g = f*g − ∫f*g' f = cos²x f' = 2cosx*(−sinx) = −sin2x g' = x g = x² J = x²*cos²x + ∫x²*sin2x dx f = x² f'=2x

	−cos2x
g' = sin2x g =
	2

	x2*cos2x
J = x2*cos2x −		+ ∫x*cos2x dx
	2

f = x f'=1

	sin2x
g' = cos2x g=
	2

	x2*cos2x		x*sin2x		1
J = x2*cos2x −		+		−		∫sin2x dx =
	2		2		2

	x2*cos2x		x*sin2x		cos2x
x2*cos2x −		+		+		+ C
	2		2		4

Basia: oj tam jest błąd

	x2
g' = x g =		i trzeba wszędzie dalej poprawić
	2

Mila: Monika naucz się formuły przy całkowaniu przez części:( Basia napisała) ∫xcos²xdx=cdn

	1
Wygodnie jest skorzystać z wzoru: cos2x=		(cos2x+1)
	2

cd

	1		1		1		1		1
=		∫(x*(cos2x+1))dx=		∫xcos2xdx+		∫xdx=		∫xcos2xdx+		x2=cdn
	2		2		2		2		4

	1
[x=u, dx=du; dv=cos2xdx, v=		sin2x]
	2

cd

	1		1		1		1
=		(x*		sin(2x)−∫		sin(2x)dx)+		x2=
	2		2		2		4

1		1		1
	xsin(2x)+		cos(2x)+		x2+C
4		8		4