Dane są funkcje Tina: Dane są funkcje f(x)=√9−8x−x² oraz g(x)=3x−3 Rozwiąż nierówność g(x)*f(x)≥0 Nie wiem jak to ugryźć, proszę o pomoc.

wielomian : ja bym zrobił tak √9−8x−x²*3x−3≥0 / ² całość do kwadratu

kylo1303: 9 −8x −x² = −(x²+8x−9)=−(x+9)(x−1) −> określ dziedzine A do kwadratu nie możemy sobie "ot tak" podnosić. Jak już określisz dziedzine to postaraj się coś zauważyć, oszczędzi liczenia.

Mila: 1) D: 9−8x−x²≥0⇔..... 2) √ 9−8x−x²≥0 w takim razie 3x−3≥0 bo wtedy iloczyn będzie większy od zera. Rozwiąż koniunkcję warunków. ( ciekawe zadanie)

blan: wiem podnoszę do kwadratu ale coś nadal nie gra?

Mila: Nic nie podnosisz do kwadratu, przeczytaj co napisałam wcześniej.

Tina: Dziękuję Mila, próbowałam tak samo jednak nadal nie wiem jak pozbyć się pierwiastka kylo1303, Dziedzina to <−9,1>, miałam obliczyć ją w podpunkcie a)

Mila: 1) A po co chcesz się pozbywać pierwiastka? D: D=<−9,1> Wiadomo, że dla x∊D √9−8x−x² przyjmuje wartości nieujemne ( własność √a²=|a|, wiadomo, że |a|≥0) Iloczyn nieujemnej liczby i liczby (3x−3) jest wiekszy lub równy zero , gdy 3x−3≥0 i x∊D 3x≥3⇔x≥1 i x∊D⇔ x=1

kylo1303: Napisałem o dziedzinie, żebyś właśnie wpadła na to co wyżej napisała Mila. Nie zawsze trzeba wszystko liczyć, niekiedy wystarczy odrobina sprytu.

Tina: No tak... tak mi wychodziło od samego początku jednak w książce jest x ∊ {−9;1}. To pewnie kolejny błąd w rozwiązaniach które zdarzają się praktycznie co chwilę i już nie wiem komu wierzyć − swojej intuicji czy książce.

jikA: I w książce jest dobrze dla x = −9 dostaniesz 0 ≥ 0 co jest oczywiście prawdą.

Tina: To jaki ma być w końcu wynik? I jak dojść do tego w książce ?

Basia: √9−8x−x²(3x−3)≥0 1. −x²−8x+9 ≥0 Δ = 64+36 = 100

	8−10
x1 =		= 1
	−2

	8+10
x2 =		= −9
	−2

x∊<−9;1> 2. √−x²+8x+9(3x−3) ≥ 0 ⇔ [ √−x²+8x+9=0 i 3x−3 dowolne ] lub [ √−x²+8x+9 >0 i 3x−3≥0 ] ⇔ [ −x²+8x+9=0 ] lub [ x∊(−9,1) i x≥1] ⇔ [ x= −9 lub x=1 ] lub x∊∅ ⇔ x∊ { −9; 1}

use: Tina zrozum jedną rzecz jeżeli składasz funkcje czy też mnożysz czy dodajesz to określasz dziedzine dla tych funkcji które składasz czy też mnożysz . Z pierwszej funkcji dziedzina to liczby <−9;1> , z drugiej funkcji to R czyli liczby rzeczywiste i sprawa wygląda tak dziedzina naszego wymnożonego przykładu nie może być wieksza od dziedzin składowych czyli bierzemy część wspólną dla tych funkcji zatem dziedzina naszego mnożenia funkcji to zbiór <−9;1> teraz wystarczy miec na uwadze ze pierwsza funkcja jest dodatnia bądz równa zero w całej naszej dziedzinie, teraz wiec funkcja druga też musi byc dodatnia bądz równa 0 żeby iloczyn tych funkcji był dodatni bądz rowny 0. Zatem mamy 3x−3≥0 ⇒ x≥1 czyli faktycznie x=1 jednak jeszcze z pierwszej funkcji 0 otrzymamy dla liczby −9 ( co widać z dziedziny bo są to krańce przedziałów czyli msc zerowe. Wiec odp; {x=−9 , x=1}

Mila: Trzeba rozważyć jeszcze osobno , kiedy oba wyrażenia mają wartości równe 0. funkcja pod pierwiastkiem ma dwa miejsca zerowe, jedno jest wspólne dla obu funkcji, a drugie też trzeba dołączyć, bo niezależnie jaki znak ma (3x−3) to lewa strona nierówności ma wartość 0.

jikA: Wynik w książce jest poprawny.

Basia: przypadek −x²+8x+9 = 0 i 3x−3 dowolne obejmuje także to o czym piszesz Milu bo skoro dowolne to także =0

Mila: Tak, ale nie widziałam Twojego wpisu, a chciałam wyjaśnic Tinie. Odp. x∊{−9,1} Zapis x∊∅ jest błędny i mogą obcinać punkty. Piszemy brak rozwiązań. ( do zbioru pustego nic nie należy, bo jest pusty z definicji)

Basia: w logice jest to zapis jak najbardziej poprawny i nikt nie ma prawa go kwestionować tak zapisujesz chociażby dowodząc, że (A\B)∪(B\A)=∅ ⇔ A=B

Basia: i rozwiązując układ nierówności |x−3|>0 |x−2|<0 x∊[ (−∞,−3)∪(3;+∞) ]∩(−2;2) = ∅ ⇒ układ nie ma rozwiązania