czy istnieje liczna N n pm21: zy istnieje liczba naturalna n, dla której liczban n⁴ + 4n³ + 7n² + 3 jest kwadratem liczby całkowitej ?

pm21: pomoze ktos?

adweaf2: ?

Ola: ?

ICSP: Otóż : n⁴ − n² = n²(n² − 1) Rozważmy dwa przypadki : 1^o n = 2k Wtedy n⁴ − n² = 4k²(2k−1)(2k + 1) ≡ 0 mod 4 2^o n = 2k − 1 n⁴ − n² = (2k − 1)² * [4k² − 4k] ≡ 0 mod 4 Zatem : n⁴ − n² ≡ 0 mod 4 n⁴ + 7n² ≡ 0 mod 4 n⁴ + 4n³ + 7n² ≡ 0 mod 4 Teraz już prosto : n⁴ + 4n³ + 7n² + 3 = a² Patrzymy na to równanie mod 4 n⁴ + 4n³ + 7n² + 3 = a² mod 4 3 ≡ a² mod 4 ale jak wiemy takie równanie jest równanie sprzecznym. Czyli nie istnieje taka liczba naturalna dla której n⁴ + 4n³ + 7n² + 3 byłoby kwadratem liczby całkowitej

Ola: A da się to zrobić innym sposobem? Jestem w 1 klasie i nie miała tego jeszcze.

ICSP: Chwilowo innego sposobu nie widzę

Piotr 10: ICSP może da radę to zapisać w postaci iloczynowej czy nic to nie da ?

ICSP: Można by również spróbować pokazać, że jeżeli w(n) = n⁴ + 4n³ + 7n² + 3 to 2| w(n+1) − w(n) ⇒ nie istnieje takie n aby w(n) było kwadratem liczby naturalnej bo : (a+1)² − a² = 2a + 1 −liczba nieparzysta Nie wiem czy takie rozwiązanie będzie poprawne, ale jeśli tak to z pewnością będzie prostsze od tego przedstawionego wyżej.

Bizon: jeśli jest kwadratem to (n²+an+b)² czyli b=√3 zatem (n²+an+√3)²=n⁴+an³+√3n²+an³+a²n²+√3an+√3n²+√3an+3= n⁴+2an³+(2√3+a²)n²+2√3an+3 porównując to z n⁴+4n³+7n²+3 .... widzimy sprzeczność

Bizon: musiałoby zachodzić: 2a=4 a jednocześnie 2√3+a²=7 jak również 2√3a=0

ICSP: Zdecydowanie za bardzo kombinowałem

Bizon: ...zdarza się −