pigor: ... , no to np. tak:: D
n: x+1>0 i x≠±1 ⇒
Dn=(−1;1)U1;+∞) − dziedzina danej
nierówności, stąd z pomocą wykresów funkcji y=log(x+1) i y=x
2−1 mam kolejne, równoważne
nierówności w przedziałach:
| | −log(x+1) | |
1) −1<x<0 ⇒ log(x+1)<0 i x2−1<0 ⇒ |
| ≤ 2log(x+1) /*(x2−1)<0 ⇔ |
| | x2−1 | |
⇔ −log(x+1) ≥ 2(x
2−1)log(x+1) /:log(x+1)< 0 ⇔ −1 ≤ 2x
2−2 ⇔ 2x
2 ≥1 ⇔ x
2 ≥
12 ⇔
⇔ |x| ≥
12√2 ⇔ x ≤ −
12p{2] lub x ≥
12√2, to stąd i z przedziału 1) mamy
(*) −1< x ≤ −12√2 ;
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
| | log(x+1) | |
2) 0≤ x< 1 ⇒ log(x+1)>0 i x2−1<0 ⇒ |
| ≤ 2log(x+1) /*(x2−1)<0 ⇔ |
| | x2−1 | |
⇔ log(x+1) ≥ 2(x
2−1)log(x+1) /:log(x+1) >0 ⇔ 1 ≥ 2x
2−2 ⇔ 2x
2≤ 3 ⇔ x
2≤ 1,5 ⇔
⇔ |x| ≤
√1,5, to stąd i z przedziału 2) mamy
(**) 0≤ x ≤ 1 ;
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
| | log(x+1) | |
3) x>1 ⇒ log(x+1)>0 i x2−1>0 ⇒ |
| ≤ 2log(x+1) /*(x2−1)>0 ⇔ |
| | x2−1 | |
⇔ log(x+1) ≤ 2(x
2−1)log(x+1) /:log(x+1) >0 ⇔ 1 ≤ 2x
2−2 ⇔ 2x
2 ≥ 3 ⇔ x
2 ≥ 1,5 ⇔
⇔ |x| ≥
√1,5, to stąd i z przedziału 3) mamy
x ≥ √1,5= 12√6 , więc
stąd i z
(*), (**) mamy :
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x∊(−1;−12√2] U [0;1) U [12√6;+∞) − szukany zbiór rozwiązań . ...
