cholerka dziwnei mi tu wychodzi , z sinusem lepiej mi zszło:P Mefir: Problem z całką : ∫tg³x dx

Miś: Oznczamy s=sin(x) c=cos(x) dc = −s dx

	s3		−s2		c2 − 1		dc		dc
∫		dx = ∫		dc = ∫		dc = ∫		− ∫		=
	c3		c3		c3		c		c3

	1		1
= ln I c I +		c−2 = ln I cos(x) I +		cos−2(x)
	2		2

mix: Wynik możesz sprawdzić w tablicy wzorów całek zawierających tangensy.

	1
1 + tg2x =		, dla cosx≠0
	cos2x

	1
wyznaczamy ; tg2x =		−1
	cos2x

	1		1
czyli ∫tg3x dx = ∫tgx *(		−1) dx = ∫tgx*		dx − ∫tgx dx
	cos2x		cos2x

	dx
podstawiasz: tgx = t ... to :		= dt
	cos2x

więc: ∫tgx dx = − lnIcosxI +C ( powinieneś to wiedzieć) ∫t dt −∫tgx dx = ¹₂t² −(−lnIcosxI) +C= ¹₂tg²x + ln IcosxI +C ∫ tg³x dx = ¹₂tg²x + ln IcosxI +C , dla cosx ≠0

Bogdan: Pobawmy się trochę tą całką. Skorzystajmy z:

	f'(x)		−sinx
1. ∫		dx = ln |f(x)| +C, np.: ∫tgx dx = −∫		dx = −ln |cosx| + C.
	f(x)		cosx

2. (tgx)' = tg²x + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∫ tg³x dx = ∫ (tg²x + 1 − 1)tgx dx = ∫ (tg²x + 1)tgx dx − ∫ tgx dx = E podstawienie: tgx = t ⇒ (tg²x + 1) dx = dt

	1
E = ∫ t dt − (−ln |cosx| + C1) =		t2 + C2 + ln |cosx| + C1 =
	2

	1
=		tg2x + ln |cosx| + C przy cosx ≠ 0
	2