Arkusz XXV Testy maturalne wyd. Aksjomat matura: Uprzejmie proszę o pomoc. Czemu funkcja −2x kwadrat jest malejąca w przedziale (0, ∞)?

ICSP: bo jest smutna

Nienor: Bo im większe x wstawiasz, tym mniejsze otrzymujesz y.

PW: Na rysunku widać od razu: im dalej z dodatnimi x, tym wykres leży niżej.Formalny dowód polega na wzięciu dowolnych dwóch x₁ i x₂ z przedziału (0,∞) i pokazaniu, że jeżeli x₁<x₂, to −x₁²>−x₂² − zgodnie z definicją funkcji malejącej. Dowód. Jeżeli x₁<x₂, to po pomnożeniu stronami przez (−x₁) otrzymamy (1) −x₁²>−x₁x₂ Zmieniliśmy nierówność na przeciwną, gdyż mnożyliśmy przez liczbą ujemną. Pomnożenie nierówności x₁<x₂ przez (−x₂) daje (2) −x₁x₂>−x₂². Z (1) i (2) wynika, że −x₁²>−x₂², co kończy dowód

PW: Ja tu dłubię na poważnie, a tymczasem już napłynęły dwie odpowiedzi, bardziej mi sie podoba ICSP.

matura: ahaaaa czyli w miejscu x = 0 linie paraboli idą w dół czyli robi się smutna A czemu rozwiązaniem nierówności xlog0,5 liczby 3 <log0,5 liczby 3 jest zbiór (1,∞) ?

PW: (x−1)log_0,53<0 Drugi czynnik jest ujemny, a pierwszy dodatni dla x>1, tak więc iloczyn jest ujemny dla x>1.

matura: ja to pierwsze rozumiem tak: −2xkwadrat=0x=0, a =−1, zaznaczam x= 0 na osi, linie paraboli ida w dół, malejąca funkcja jest od 0 do ∞. Good?

mika: a=−2

PW: No tak, ale to jest obrazek, ilustracja. Poważny dowód na pytanie "udowodnij, że f(x)=−x² jest malejąca na przedziale (0,∞)" podałem, i nie da się tego zrobić przyjemniej, można ewentualnie badać różnicę −x₁²−(−x₂²) = (x₂−x₁)(x₂+x₁) i pokazać, że jest dodatnia, to chyba przebiega szybciej i jest bardziej zrozumiałe. Dla siebie − obrazek, funkcja opada, jest smutna. Jako dowód − tylko stosowny rachunek. Wykres funkcji nie może być dowodem, to powstał w odwrotnej kolejności − najpierw ktoś zbadał, że funkcja jest rosnąca, a potem narysował wykres.

matura: Może mi ktoś dokładniej wytłumaczyć z tymi logarytmami ?

PW: 3<1 log_0,53>log_0,51 log_0,53>0 Funkcja log_0,5 jest malejąca, więc przy przejściu od pierwszego wiersza do drugiego zmieniliśmy nierówność na przeciwną

PW: No ładnie, napisałem przeciwne nierówności niż być powinny, jestem chyba pierwszy, co twierdzi, że 3<1. Pozamieniaj, będzie dobrze: log_0,5<0, tak jak to pisałem o 20:32 (jakoś w pamięci rozwiązałem bez błędu).