Wartość bezwzględna
Krzysiu: Proszę o pomoc przy rozwiązaniu równania. Z góry dziękuję.
√x2 −2x +1 −2|x+3| +x+7=0
12 kwi 01:01
Eta:
√x2−2x+1= √(x−1)2= |x−1|
|x−1|−2|x+3|+x+7=0
12 kwi 01:10
12 kwi 01:11
Krzysiu: Intryguje mnie fakt czemu muszę przejść z pierwiastka na wzór skróconego mnożenia, a następnie
na wartość bezwzględną. Czy nie da się rozwiązać tego równania inaczej, a mianowicie
rozbijając wartość bezwzględną na 2 przypadki, następnie przenosząc na prawą stronę wszystko
poza pierwiastkiem i podnieść obie strony do kwadratu?
12 kwi 01:16
Eta:
A mnie "intryguje" Twoja wycieczka "z Gdańska do Sopotu przez Sydney"
12 kwi 01:19
Krzysiu: Akurat jestem w Gdańsku
. Rozumiem, ale czemu jadąc z Gdańska do Sopotu przez Sydney nie dotrę
do Sydney?
12 kwi 01:32
Krzysiu: do Sopotu*
12 kwi 01:32
jikA:
A czemu masz nie dotrzeć? Tylko trochę bez sensu nie mając pieniędzy wybierać się w taką
podróż prawda? (metafora pieniądze = wiedza)
Dziedziną naszą są x ∊ R.
√x2 − 2x + 1 − 2|x + 3| + x + 7 = 0
√x2 − 2x + 1 = 2|x + 3| − (x + 7)
Jak wiesz pierwiastek stopnia parzystego daje zawsze wartość nieujemną a więc lewa strona
naszego równania jest nieujemna. Teraz aby mieć rozwiązanie nasza prawa strona musi być
nieujemna czyli
2|x + 3| − (x + 7) ≥ 0
2|x + 3| ≥ x + 7
2x + 6 ≥ x + 7 ∨ 2x + 6 ≤ −x − 7
| | 13 | |
Otrzymaliśmy że dla x ∊ (−∞ ; − |
| ] ∪ [1 ; ∞) nasz prawa strona równania jest nieujemna |
| | 3 | |
i teraz dla tych argumentów możemy podnieść obustronnie do kwadratu wtedy mamy
√x2 − 2x + 1 = 2|x + 3| − (x + 7)
x
2 − 2x + 1 = 4x
2 + 24x + 36 − 4|x + 3|(x + 7) + x
2 + 14x + 49
4|x + 3|(x + 7) = 4x
2 + 40x + 84
|x + 3|(x + 7) = x
2 + 10x + 21
|x + 3|(x + 7) = (x + 7)(x + 3)
|x + 3|(x + 7) − (x + 7)(x + 3) = 0
(x + 7)(|x + 3| − x − 3) = 0
x + 7 = 0 ∨ |x + 3| − (x + 3) = 0
x = −7 ∨ |x + 3| = x + 3 ⇒ x ∊ [−3 ;
∞)
| | 13 | |
x ∊ {−7} ∪ [−3 ; ∞) ∧ x ∊ x ∊ (−∞ ; − |
| ] ∪ [1 ; ∞) ⇒ |
| | 3 | |
x ∊ {−7} ∪ [1 ;
∞).
Jak widzisz to rozwiązanie wymaga trochę obliczeń w których jest łatwo popełnić błąd.
Najlepsze rozwiązanie jest to które podała
Eta.
12 kwi 03:48
Krzysiu: Dziękuję bardzo za rozwiązanie. Mój kapitał wzrósł
12 kwi 11:31