wykaż że jeżeli xy>0 , to (x+y)(1/x+1/y)≥4 Klaudia188: wykaż że jeżeli xy>0 , to (x+y)(1/x+1/y)≥4

camus: (x+y)(¹_x+¹_y)=1+^x_y+^y_x+1≥4 ^x_y+^y_x≥2

x2+y2
	≥2
yx

x2+y2
	−2≥0
yx

x2−2xy+y2
	≥0
xy

(x−y)2
	≥0 co jest prawdą (licznik większy/równy zeru − logiczne, mianownik większy od
xy

zera z zał.)

Janek191: Mamy (x − y)² ≥ 0 dla dowolnych liczb x ∊ R ∧ y ∊ R x² − 2 x*y + y² ≥ 0 x² + y² ≥ 2 x*y ; ponieważ x*y > 0 , więc x ≠ 0 ∧ y ≠ 0; dzielę przez x*y

x2 + y2
	≥ 2
x*y

x		y
	+		≥ 2 ; dodaje do obu stron liczbę 2
y		x

	x		y
1 +		+		+ 1 ≥ 4
	y		x

	1		1
( x + y)*(		+		) ≥ 4
	x		y

ckd.

pigor: ..., lub tak : przypuśćmy, że to nieprawda czyli, że (x+y)(¹_x+¹_y)< 4 /*xy>0 z Z. ⇒ (x+y)(y+x)< 4xy ⇔ x²+2xy+y²−4xy< 0 ⇔ ⇔ x²−2xy+y²<0 ⇔ (x−y)²< 0 − nieprawda, więc (x+y)(¹_x+¹_y) ≥0 c.b.d.w.