całka matroz: Witam, proszę o pomoc w policzeniu całki; rozkładając na ułamki prostsze nie uzyskałem rozwiązania:

	2x+1
∫		dx = *
	(x2+2x+2)2

2x+1		Ax+b		Cx+d
	=		+
(x2+2x+2)2		x2+2x+2		(x2+2x+2)2

po obliczeniach: A=B=0 C=2 D=1

	0x+0		2x+1
Zatem * = ∫		+
	x2+2x+2		(x2+2x+2)2

co prowadza do postaci początkowej. Jakim innym sposobem to rozwiązać? pozdrawiam

Artur_z_miasta_Neptuna: po pierwsze ... po co rozkładasz na ułamki proste gdy jeden z ułamków ma ten sam mianownik jak ten który rozkładasz to tak jakbyś chciał zapisać:

1		A		B
	=		+		<−−− logiczne że A=0 i B=1 (jedna z możliwości oczywiście
4		2		4

taką całkę rozwiązujesz przez .... podstawienie najpierw, przygotowanie do podstawienia krok1. zauważasz że pochodna z x²+2x+2 ... wynosi 2x+2 ... i 'prawie' tyle masz w liczniku krok 2.

2x+1		2x+2 −1		2x+2		1
	=		=		−
(x2+2x+2)2		(x2+2x+2)2		(x2+2x+2)2		(x2+2x+2)2

krok 3. pierwszy ułamek jest gotowy do podstawienia i wyliczenia ... teraz zastanów się co zrobić w drugim ułamku (jakoś przekształcić trzeba mianownik ... tylko jak ... jak myślisz?!)

Mila:

	2x+1		2x+1
∫		dx=∫		dx=
	(x2+2x+2)2		((x+1)2+1)2

= [x+1=t,dx=dt, x=t−1]

	2(t−1)+1		2t		dt
=∫		dt=∫		dt−∫		dt
	(t2+1)2		(t2+1)2		(t2+1)2

dalej poradzisz sobie?

matroz: do tego momentu właśnie sam doszedłem, dalej nie wiem co zrobić, proszę o pomoc.

Mila: Piszesz do mnie , czy Artura?

matroz: do Ciebie

Mila: OK, piszę.

Mila: Było podstawienie : x+1=t Liczę osobno całki z 20:31 po kolei: [t²+1=u,2t dt=du]

	2t		du		−1
∫		dt=∫		=∫u−2 du=(−1)*u−1=		=
	(t2+1)2		u2		u

	−1		−1		−1
=		=		=
	t2+1		(x+1)2+1		x2+2x+2

	1		t2+1−t2		t2+1		t2
∫		dt=∫		dt=∫		dt−∫		dt=
	(t2+1)2		(t2+1)2		(t2+1)2		(t2+1)2

	1		t		−t		1		1
=∫		dt−∫t*		dt=arctgt−[		+		∫		dt= cdn...
	(t2+1)		(t2+1)2		2(t2+1)		2		t2+1

	t
[druga całka przez części:t=u, dt=du, dv=		dt;
	(t2+1)2

	1		2t		−1
v=		∫		dt=		]
	2		(t2+1)2		2(t2+1)

cd

	t		1		1		t
=arctgt+		−		arctgt=		arctgt+		=
	2(t2+1)		2		2		2(t2+1)

	1		x+1		1		x+1
=		arctg(x+1)+		=		arctg(x+1)+
	2		2[(x+1)2+1]		2		2(x2+2x+2)

Zatem:

	2t		1		−1		1		x+1
∫		dt−∫		dt=		−		arctg(x+1)−		=
	(t2+1)2		(t2+1)2		x2+2x+2		2		2(x2+2x+2)

	−2−x−1		1		−1		x+3
=		−		arctg(x+1)=		(		+arctg(x+1))+C
	2(x2+2x+2)		2		2		x2+2x+2

matroz: zgubiłem się w 5 linijce rozwiązania (tej gdzie napisałaś na końcu cdn...)

	t
nie rozumiem rozbicia całki ∫t*		dt , mogę prosić o wyjaśnienie?
	(t2+1)2

Mila:

	t2		t
∫		dt=∫t*		dt teraz przez części
	(t2+1)2		(t2+1)2

	t
[t=u, dt =du, dv=		dt stąd
	(t2+1)2

	t
v=∫		dt ale taka całka z licznikiem 2t jest policzona na początku wpisu 22:27,
	(t2+1)2

więc zapisuję ją tak:

	t		1		2t		1		−1
v=∫		dt=		∫		dt=		*
	(t2+1)2		2		(t2+1)2		2		t2+1

wracam:( całkowania przez części)

	t		1		−1		1		−1
∫t*		dt =t*		*		−∫		*		dt=
	(t2+1)2		2		t2+1		2		t2+1

	−t		1
=		+		arctgt
	2(t2+1)		2

Mila: Musisz to sobie rozpisać , bo łatwo się myli.

matroz: Ok już rozumiem, dzięki ogromne ♥

Mila: Powodzenia w całkach.

matroz: dziękuję