Niewiarygodny ciąg. Luke:

	1+2+3+...+2n
Ciąg (an) dany jest wzorem an=		dla n≥1.
	3n

a) Wykaż, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny b) Sprawdź że ciąg (a₁,a₇+2, a₄₀ + 22) jest geometryczny.

Luke: Podbijam. Nie rozumiem jak wykazać, że ciąg jest arytmetyczny. Prosiłbym o dokładnie wyjaśnienie.

Luke: Jeszcze raz do góry. Proszę o pomoc.

Luke: ...

Mila: 1) Oblicz sumę w liczniku, (c. arytm) 2) a_n+1−a_n=r

Tomek: oznaczmy sb ten ciąg w mianowniku jako ciąg b_n b₁=1 b_n=2n Sn− suma ciągu b_n czyli mianownik

	2n+1		2n2+n
Sn=		*n=
	2		2

teraz wracamy do a_n

	Sn		2n2+n		2n+1
an=		=		=
	3n		6n		6

obliczamy a_n+1

	2n+2+1		2n+3
an+1=		=
	6		6

Obliczamy róznice czyli a_n+1−a_n

	2n+3		2n+1		1
an+1−an=		−		=		=r
	6		6		3

	1
udowodniliśmy ze jest to ciąg aryt o r=
	3

Luke: Kurde, no dalej nie rozumiem. Przecież mianownik to 1+2+3+...+2n? Jak tutaj wyliczyć, że b₁=1, skoro tam te trzy kropeczki sugerują, że to w nieskończoność się dodaje tak?

Luke: Pfu, licznik. Pomyłka.

Mila: Napisz prawidłowy licznik.

Luke: No taki jak w treści zadania. 1+2+3+...+2n

Mila: 1) Licznik "zwijamy"

	1+2+3+4+......+2n
an=
	3n

L=1+2+3+4+...+2n b₁=1 , b_2n=2n, r=1 wyrazy licznika to c. arytmetyczny

	1+2n
L=		*2n=n(1+2n)
	2

	n*(1+2n)		1+2n
an=		=
	3n		3

	1+2n
an=
	3

	1+2((n+1)		1+2n+2		3+2n
an+1=		=		=
	3		3		3

	3+2n		1+2n		3+2n−1−2n		2
an+1−an=		−		=		=		ciąg arytmetyczny, rosnący
	3		3		3		3

	2
r=
	3

b) a₁,a₇+2,a₄₀+22 kolejne wyrazy c. geom.

	1+2*1
a1=		=1
	3

	1+2*7
a7=		=5
	3

a₇+2=7

	1+2*40
a40=		=27
	3

27+22=49 Mamy ciąg: 1,7,49

7		49
	=		rowność prawdziwa
1		7

a₁,a₇+2,a₄₀+22 to są 3 kolejne wyrazy c. geom.

Luke: No dobra, niby rozumiem, ale w dalszym ciągu mam wątpliwości skąd bierze się to b₂n? I dlaczego r=1, skoro licznik ciągu ma na końcu oprócz 1+2+3+... jeszcze to +2n. To jest razem jego wyraz przecież. Wtedy licznik zobaczcie: 1+2+3...+2n dla załóżmy a₁=1+2+3+,,,+2*1= 1+2+3+...+2. Dla a_a= 1+2+3+...+4. Wtedy to r wzrasta jednak o 2? Może macie mnie za tępaka, ale po prostu nie wiem dlaczego te 2n nagle staje się wzorem ciągu w samym liczniku, skoro ono należy do tego całego 1+2+3+...+2n.

Luke: Tam powinno być dla a+2=1+2+3+...+4.

Luke: a₂ kurde

Luke: .

Mila: Masz sumę kolejnych liczb naturalnych a ostatnia jest parzysta. np. 1+2+3+4+5+6+7+8 b₌1 b₂=2 .... b₈=8

	1+2n
Nie liczysz kolejnych wyrazów an z pierwszego wzoru lecz zwiniętego tj. an=
	3

albo jeśli się uparłeś z pierwszego wzoru to tak:

	1+2*1
a1=
	3*1

	1+2+3+2*2		10		5		1+2*2		5
a2=		=		=		ze zwiniętego a2=		=
	3*2		6		3		3		3

ostatni wyraz sumy w liczniku to 2*2=4

	1+2+3+4+5+6		21		7		1+2*3		7
a3=		=		=		ze zwiniętego a3=		=
	3*3		9		3		3		3

ostatni wyraz sumy w liczniku to 2*3=6