Potęgi Michał Kas: Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba: a) 10ⁿ +5 jest podzielna przez 3 b) 10ⁿ +17 jest podzielna przez 9

AS:

	n 1		n 2
a) 10n + 5 = (9 + 1)n + 5 = 9n +		*9n−1*1 +		*9n−2*12+ ... + 1 + 5

= 9*A + 6 = 3*(3*A + 2) a to świadczy o podzielności przez 3 Analogicznie przebiega zadanie b)

Michał Kas: Eta weś mi to wyjaśnij

Eta: Witam [ P{ Michał]] mozna tez indukcyjnie : dla n = 1 mamy: 10¹ +5 = 15 = 3*5 −−− więc jest podzielna przez 3 zał. indukc. dla n = k mamy: 10^k +5 = 3*s −−− podzielna przez 3 teza ind. dla n = k+1 mamy: 10^k+1 +5 = 10*10^k +5 = 10*10^k +10*5 − 10*5 +5= 10( 10^k +5) − 45= więc 10^k +5 podzielne przez 3 z założenia i − 45 = 3*15 = 3 *s tez podzielneprzez 3 zatem liczba 10ⁿ +5 jest podzielna przez 3

Eta: b) podobnie poradzisz już sobie, wierzę w Ciebie

Michał Kas: dzięki wielkie

Eta:

AS: Można i tak 10¹ = 10 , 10² = 100 , 10³ = 1000 , ...,10ⁿ = 10000....000 (n zer) 10ⁿ + 5 = 1000....00005 (n−1 zer) Suma cyfr tak utworzonej liczby dla każdego n wynosi 6,a 6 jest podzielne przez 3 czyli cała liczba musi być podzielna przez 3 bo spełnia cechę podzielności przez 3 Podobnie w przypadku b) tylko że tam suma cyfr wyniesie 18 i jest podzielna przez 9.