Założenia w równaniu Ania: Czy jeżeli mam takie równanie √^a2+b2₂ ≥ ^a+b₂ To jeżeli nie mam podanych żadnych założeń to czy mogę podnieść do kwadratu obie strony równania? Będę bardzo wdzięczna

Ania: hm?

Ania: Proszę Was o pomoc!

PW: (a−b)²≥0 a²+b²−2ab≥0

	a2+b2		ab
		≥
	4		2

	a2+b2
Po dodaniu stronami		dostajemy
	4

	a2+b2		a2+b2+2ab
		≥
	2		4

	a2+b2		a+b
		≥(		)2
	2		2

Jak widać wszystkie kolejne nierówności są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b. Z ostatniej nierówności wynika

	a2+b2		a+b
√		≥|		|.
	2		2

Obie strony nierówności były nieujemne, a więc można było obustronnie wyliczyć pierwiastki nie zmieniając nierówności (pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą). Podana przez Ciebie nierówność jest więc prawdziwa dla wszystkich a i b, bo

	a+b		a+b
|		|≥		.
	2		2

Co do podnoszenia stronami do kwadratu nierówności o nieustalonym znaku jednej ze stron jedyna słuszna odpowiedź brzmi: nie wolno tego robić.