X Y Z liczbami rzeczywistymi. angelo!: Witam! Nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem.W necie jest wiele rozwiązań ale nie mogę ich pojąć. Czy może mi ktoś wytłumaczyć co i jak krok po kroku? Najpierw stosujmy wzór skr. mnoż. ale co dalej? Udowodnij, że jeśli x, y, z sa liczbami rzeczywistymi takimi ze x+y+z=1 , to x²+y²+z²≥1/3

Mila: (x+y+z)²=(x+y+z)*(x+y+z)=(x²+y²+z²)+2xy+2xz+2zy Czyli: (x²+y²+z²)=(x+y+z)²−2xy−2xz−2yz=1−(2xy+2xz+2yz) Wiemy ponadto, że dla x,y,z∊R prawdziwe są nierówności (x−y)²≥0⇔x²−2xy+y²≥0⇔x²+y²≥2xy podobnie (x−z)²≥0⇔x²+z²≥2xz (y−z)²≥0⇔y²+z²≥2yz W takim razie (x²+y²+z²)≥1− (x²+y²+x²+z²+y²+z²)=1−2(x²+y²+z²) przenosimy na prawą stronę wyrazy ze zmiennymi (Od jedynki odjęliśmy więcej niż było, stąd taki kierunek nierówności) 3(x²+y²+z²)≥1

	1
(x2+y2+z2)≥
	3

Mila: Powinno być na lewą stronę.

angelo!: Dlaczego w 3 lini po znaku = jest ( x+y+z)² − 2xy − ...?

wredulus_pospolitus: wzór skróconego mnożenia dla trzech elementów −−− na kartce sobie rozpisz, a zobaczysz

Mila: W pierwszej linijce masz napisany wzór, z niego obliczony niebieski fragment .

Eta: Z nierówności między średnimi śr. kwadratowa ≥ śr. arytmetyczna

	x2+y2+z2		x+y+z		1
√		≥		=		/2
	3		3		3

x2+y2+z2		1
	≥		/*3
3		9

	1
x2+y2+z2≥
	3

angelo!: Ale czemu tam jest −2x zamiast +2x? Czemu zmieniono znak

angelo!: wzór rozumiem, rozpisanie też ale nie kojarze tej 3 linijiki

Mila: (x+y+z)²=(x²+y²+z²)+2xy+2xz+2zy /−2xy,−2xz,−2zy (x+y+z)²−2xy−2xz−2zy=(x²+y²+z²)

angelo!: aaaaaaaa takie butyyy dzięki

Mila: No widzisz, cierpliwość w dochodzeniu do prawdy opłaciła się.

angelo!: jeszcze to zdanie nie daje mi spokoju (Od jedynki odjęliśmy więcej niż było, stąd taki kierunek nierówności) chodzi o "więcej niż było"