Wykaż, że podany ciąg jest ograniczony: wajdzik: Wykaż, że podany ciąg jest ograniczony:

	1
an=
	n2

Nie za bardzo wiem jak zabrać się za to zadanie.

	1
Mam an+1=
	(n+1)2

	1		1		n2−n2−2n−1
an+1−an=		−		=U{n3−(n+1)2}{n2(n+1)2=		=
	(n+1)2		n2		n2(n+1)

	−2n−1
=		, gdzie n∊N+
	n2(n+1)2

	1		1
Wiem, że an=		jest ograniczony z dołu przez liczbę
	n2		2

A ograniczony z góry? PROSZĘ O POMOC

Artur z miasta Neptuna: A to ciekawe ze z dolu jest ograniczony przez 0,5 wskazowka −−− ciag monotoniczny i zbiezny jest ograniczony

wajdzik: Pomyłka, ciąg jest ograniczony z dołu przez 1. Ciąg jest rosnący iii

wajdzik: Ciąg malejący*

Artur z miasta Neptuna: Ciag jes malejacy ... z gory przez 1 (a₁) z dolu przez 0 (granica)

wajdzik: a ograniczony z góry będzie przez...

	1
1≤n2 n2≥1		<?
	n2

Nie wiem. Nie mam pojęcia.

wajdzik: właśnie mam problem z tymi granicami. Te tematy ogólnie odpuściła moja nauczycielka i sam je robię, a w podręczniki nie wzmianki o "granicach".

Artur z miasta Neptuna: Chwila .... jaki poziom liceum czy studia

wajdzik: Liceum.

Artur z miasta Neptuna: To moze i bez granicy: skoro malejacy (badasz wartosc wyrazenia a(n+1)/an) to znaxzy ze ograniczony z gory przez pierwszy wyraz ciagu natomiast wprawionym okiem azuwazasz ze n nalezy do natralnych dodatnich ... wie n² jest liczba dodatnia wiec takze 1/n² bedzie dodatnie ... Wiec ograniczony ciag z dolu jest przez 0 i masz bez uzycia granic

wajdzik: Tutaj mam drugi przykład:

	2n+1
an=
	n

	2n+3
an+1=U{2(n+1)+1}{n+1)=
	n+1

	2n+3		2n+1		n(2n+3)−(2n+1)(n+1)
an+1−an=		−		=		=
	n+1		n		n(n+1)

	2n2+3n−2n2−3n−1		−1
=		=
	n(n+1)		n(n+1)

Ciąg malejący, ograniczony z góry przez liczbę 3 (a₁), oraz z dołu przez 0(granicę). Jest ok?

Artur z miasta Neptuna: 0 nie jest granica tego ciagu ... ale elementy tego ciagu sa zawsze dodatnie ... Wiec ograniczony jest on przez 0 (granica ciagu jest liczba 2)

wajdzik: Dzięki Artur, wolę robić te zadania z granicami. W końcu je załapę, na studia matematyczne mam zamiar się wybrać więc chętnie się ich teraz nauczę.