rozklad wielomianu abc: rozkład wielomianu x¹⁰ − x⁵ + 1 probowalem kilku opcji i nadal nie mam pomyslu

Kostek: t=x⁵ t²−t+1 Δ=(−1)²−4*1*1=−3 według mnie nie da się rozłożyć

Basia: x¹⁰−x⁵+1 = (x⁵+1)² − 2x⁵ = (x⁵+1)² − (√2x⁵)² = (x⁵+1+√2x⁵)(x⁵+1−√2x⁵)

Basia: da się jak widać, tyle, że czynniki nie są wielomianami

Basia: oj błąd tam jest ma być (x⁵+1)² − 3x⁵ i dalej wszędzie 3 zamiast 2

ICSP:

Basia: dlaczego Ci smutno ICSP ?

ICSP: no bo Kostuś głupoty gada i mi smutno

Eta:

abc: doszedłem do tego etapu co Basia; nie potrafię jednak rozłożyć tego jak Wolfram , stąd pytanie

Kostek: Kostuś przpraszam ICSP ja się dopiero uczę

Basia: a co Ty jeszcze chcesz dalej ? jest rozłożone na iloczyn (x⁵+1+√3x⁵)(x⁵+1−√3x⁵) ewentualnie teraz zrób podstawienie t = √x⁵ i sprawdzaj czy t²+√3t + 1 i t²−√3t+1 są rozkładalne (nie są więc finał )

Vax: x¹⁰−x⁵+1 = (x²−x+1)(x⁸+x⁷−x⁵−x⁴−x³+x+1)

ICSP: Vax so true To co jest w drugim nawiasie dałbyś rade rozłożyć jeszcze bardziej ?

Eta: Tak jak Vax ...... podał też Wolfram

abc: wszystko dlatego, że zacząłem od "środka" zadania, które brzmi: wielomian x⁶⁰ − 1 jest podzielny przez: a) x + 1 b) x² + x + 1 c) x³ + x² + x + 1 d) x⁴ + x³ + x² + x + 1 po rozlozeniu, otrzymalem taka postac: (x³⁰ − 1)(x³⁰ + 1) (x¹⁵ + 1)(x¹⁵ − 1)(x³⁰ + 1) (x⁵ + 1)(x¹⁰ − x⁵ + 1)(x⁵ − 1)(x¹⁰ + x⁵ + 1)(x³⁰ + 1) (x + 1)(x⁴ − x³ + x² − x + 1)(x¹⁰ + x⁵ + 1)(x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)(x¹⁰ + x⁵ + 1)(x³⁰ + 1) wszystkie odp. sa poprawne, jednak na podstawie tego rozkladu nie potrafie potwierdzic odp. b i c

Vax: Jakoś się musi dać, każdy wielomian można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia maksymalnie 2, ale nie jestem pewien czy w tym przypadku to by było ,,ładne"

ICSP: Zobaczę później co da się zrobić z tamtym wielomiankiem

abc: chętnie bym zobaczył ten wielomian po rozpisaniu, bo dla mnie to za wysokie schody; ma ktoś pomysł co do tego zadania; może w ogole inaczej sie do tego zabrac?

Vax: Nie mając wolframa pod ręką z pomocą przychodzą liczby zespolone i równość e^iπ = −1 Pierwiastkami x²−x+1 = 0 są x₁ = e^iπ₃ oraz x₂ = e^5iπ₃, trzeba sprawdzić czy dany wielomian się zeruje dla x₁,x₂, istotnie, wstawiając x1 dostajemy: e^10iπ₃−e^5iπ₃+1 = e^4ipi₃−e^2iπ₃*(e^3iπ₃)+1 = −e^iπ₃+e^2iπ₃+1 = 0 Analogicznie wstawiając x₂ otrzymujemy 0, więc wiemy, że dany wielomian dzieli się przez x²−x+1, a stąd już łatwo dostać dany rozkład Co do Twojego przykładu, to np jak chcemy sprawdzić, czy W(x) = x⁶⁰−1 jest podzielny przez Q(x) = x³+x²+x+1, zauważamy, że pierwiastkami Q(x) są γ,γ² oraz γ³, gdzie γ = e^iπ₂, trzeba jedynie sprawdzić, czy W(γ) = W(γ²) = W(γ³) = 0, istotnie tak jest, rozpisując np W(γ) otrzymujemy: W(γ) = e^30iπ−1 = 0 (gdyż e^2iπ = 1 ⇒ e^30iπ = 1) Analogicznie W(γ²) = W(γ³) = 0

ICSP: Vax jak zwykle

zombi: najs

kokos: Vax co do tego "stąd już łatwo dostać dany rozkład" jak to popchnąć dlaej skoro wiemy, że się dzieli przez x²−x+1

Basia: jeżeli chodzi o Twoje zadanie wystarczy wykonać zwyczajne dzielenie nie trzeba rozkładać wielomianu na czynniki

Vax: Tak, wystarczy zwyczajnie podzielić wielomiany pisemnie.

zombi: A z ciekawości jak mam x²−x+1

	1−√−3
x1=
	2

	1+√−3
x2=
	2

wiem, że i=√−1 oraz, że ze wzorku Eulera e^πi=−1, Δ=3i² jak dalej przejść, żeby dostać postać w liczbach e, a bez ułamków śmiesznych?

zombi: Tzn. jak z x₁=U{1−√−3{2} przejść w e^πi₃ itd.

Vax: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone#Posta.C4.87_wyk.C5.82adnicza Czyli np w naszym przypadku:

	1		√3		π		π
x1 =		+		i = cos		+isin		= eiπ3
	2		2		3		3

	1		e2iπ
I teraz ze wzorów Viete'a x2 =		=		= e5iπ3
	x1		eiπ3

zombi: Dzięki, teraz mam jasno

zombi: i x²+1 mogę tak samo polecieć ? tzn. (x−i)(x+i) ?

Vax: Tak, żeby W(x) był podzielny przez x²+1 wystarczy sprawdzić, czy W(i) = W(−i) = 0.

zombi: To ułatwia bardzo sprawę przy rozkładaniu jakichś hardkorów, dzięki wielkie

zombi: A jak np. mam coś takiego x²+x+2 Δ=7i²

	−1−√7i
x1=
	2

	−1+√7i
a x2=
	2

to nie za bardzo istnieje możliwość, żeby to zwinąć w wykładniczą, więc da się to jakiejś ładniejszej postaci?

ICSP: a co Ci się w tej postaci nie podoba ?

zombi: Z ciekawości pytam. Trudne są zespolone?

ICSP: znasz funkcje cyklometryczne ?

zombi: NIee :<

ICSP: no to najpierw funkcje cyklometryczne a dopiero później liczby zespolone