całki f. niewymiernych kartofelek: ∫(2x² − 3x +3) / (x³ −2x² + x) wychodzą mi jakieś sprzeczności, a wynik w odpowiedziach jest.. Proszę o pomoc:(

Basia: podaj ten wynik, bo też nie jestem pewna tego co policzyłam a szkoda czasu na pisanie błędnego rozwiązania

kartofelek: wynik: ⁻²_x−1 −ln lx−1l + 3ln lxl +C

Basia: jeżeli nikt się wcześniej nie zlituje to potem spróbuję Ci to napisać, tak za dwie, trzy godziny bo teraz muszę kończyć

kartofelek: ok, dzięki

Basia: przez rozkład na ułamki proste x³−2x²+x = x(x²−2x+1) = x(x−1)²

2x2−3x+3		A		B		Cx+D
	=		+		+
x3−2x2+x		x		x−1		(x−1)2

stąd A(x−1)²+Bx(x−1)+(Cx+D)x = 2x²−3x+3 A(x²−2x+1)+B(x²−x)+Cx²+Dx = 2x²−3x+3 (A+B+C)x²+(−2A−B+D)x + A = 2x²−3x+3 A+B+C = 2 −2A−B+D = −3 A= 3 3+B+C = 2 −6−B+D= −3 B+C = −1 −B+D= 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−− C+D = 2 to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań wybierasz sobie jakie chcesz; oczywiście najlepiej najprostsze ja wybrałam C = D = 1 (ale można też np. C=0 i D=2 albo C=2 i D=0) stąd mam B+1 = −1 B = −2 A=3; B=−2; C=D=1 i mamy

	1		1		x+1
J = 3∫		dx − 2∫		dx + ∫		dx =
	x		x−1		(x−1)2

3ln|x| − 2ln|x−1| + J₁ a J₁ przez podstawienie t = x−1 dt = dx t+1 = x t+2 = x+1

	t+2		1		1
J1 = ∫		dt = ∫		dt + 2∫		dt =
	t2		t		t2

	1		2
ln|t| − 2		= ln|x−1|−
	t		x−1

	2
J = 3ln|x| − 2ln|x−1| + ln|x−1| −		+C =
	x−1

	2
−		+3ln|x| − ln|x−1| + C
	x−1

Mila: Witaj, Basiu Tu zadziała też rozkład:

A		B		C
	+		+
x		x−1		(x−1)2

Właśnie tak zrobiłam, wyłączył mi się komputer, a teraz już widzę rozwiązanie, to nie ma potrzeby pisać drugiego.

Basia: Witaj Milu oczywiście to będzie przypadek C=0 i D=2 wtedy B = −1

	2
∫		dx przez podstawienie jak wyżej
	(x−1)2