układ równań a: Jak rozwiązać taki układ równań:

⎧	c+b−a2=−21
⎨	a(c−b)=2
⎩	bc=72

Czy mógłby mi ktoś opisać jak to rozwiązać?

jikA: A wiadomo coś o liczbach a , b , c czy są całkowite?

a: Tak są to liczby całkowite.

jikA: To trzeba pisać od razu o tym.

jikA:

	72
bc = 72 ⇒ b =		aby b była liczą całkowitą to 72 musi się dzielić bez reszty przez
	c

c która też jest liczbą całkowitą a więc mogą to być dzielniki liczby 72 czyli {±1 ; ±2 ; ±3 ; ±4 ; ±6 ; ±8 ; ±9 ; ±12 ; ±18 ; ±36 ; ±72}

	2
a(c − b) = 2 ⇒ a =		teraz aby a było liczbą całkowitą 2 musi się dzielić bez
	c − b

reszty przez c − b która musi być liczbą całkowitą skoro b i c są całkowite tak więc liczba c − b musi być dzielnikiem liczby 2 czyli {±1 ; ±2}. Teraz jakie liczby c − b dadzą nam taką sytuacje że będą równe c − b = ±1 ∨ c − b = ±2?

a: No dobrze, jak go rozwiązać?

a: Wolfram Alpha zwrócił mi następujące wartości: a=(−2) b=(−8) c=(−9) lub a=2 b= (−9) c=(−8) Ale, mi chodzi o wyjaśnienie sposobu rozwiązania takiego równania. Bo chciałbym się nauczyć to rozwiązywać.

jikA: Przecież napisałem jak rozwiązać. Co jest nie jasne?

jikA: Wolfram matury za Ciebie nie napisze służy on przeważnie do sprawdzenia wyniku a nie żeby się sugerować odpowiedziami z niego.

a: Ja próbowałem tak:

⎧	c+b−a2=−21
⎨	c−b=2a
⎩	bc=72

I teraz wyznaczam zmienną c i wstawiam ją do dwóch pozostałych równań (eliminując w ten sposób jedno równanie − zmniejszam ilość równań z 3 do 2).

⎧	−21−b+a2−b=2a
⎩	b(−21−b+a2)=72

⎧	−21−b+a2−b=2a
⎩	−21b−b2+a2b=72

Dobrze to jest?

a: I ja Wolfram Alpha w takim charakterze używam.

jikA: To próbuj po swojemu podałem sposób który według mnie jest prosty wystarczy na chwilę włączyć szare komórki i od razu otrzyma się wynik.

a: No, ale to jest metoda polegająca na dopasowaniu. Wybierz liczby i dopasuj. A układ równań chyba można rozwiązać na zasadzie przekształceń, a nie na zasadzie wybierz grupę liczb i dopasowuj do skutku.

a: Prawidłowe jest to co napisałem.

jikA: Więc uważasz moje rozwiązanie za nie poprawne? Według mojego sposobu ten układ rozwiąże się w ciągu 5 minut maksymalnie. A Twoim sposobem po drodze jeżeli się nie pomylisz to będziesz go rozwiązywał z minimum 10 minut.

a: Skądże! Ja nie uważam Pan/i sposobu za nie poprawny. Tylko wolałbym rozwiązać go sposobem z wykorzystaniem metod rozwiązywania układów równań.

jikA: To chcesz się bawić? Mam pisać z układu równań rozwiązanie?

a: Pomnóżmy pierwsze równanie przez b w poniższym układzie:

⎧	−21−2b+a2= 2a
⎩	−21b−b2+a2b=72

⎧	−21b−2b2+a2b=2ab
⎩	−21b−b2+a2b=72

I odejmujemy stronami: (−21b−2b²+a²b)−(−21b−b²+a²b)= ²_ab−72 −2b²+b²= ²_ab−72 b²=²_ab−72 Dobrze to jest?

a: Bardzo bym oto prosił.

a: Tylko chciałbym prosić o dodanie wyjaśnień. Bardzo byłbym wdzięczny.

jikA:

	72
bc = 72 ⇒ c =
	b

	72
a(		− b) = 2 / * b
	b

	2b
a(72 − b2) = 2b ⇒ a =
	72 − b2

72		2b
	+ b − (		)2 = −21
b		72 − b2

72		4b2
	+ b −		= −21 / * b(72 − b2)2
b		b4 − 144b2 + 5184

72(b⁴ − 144b² + 5184) + b²(b⁴ − 144b² + 5184) − 4b³ = −21b(b⁴ − 144b² + 5184) b⁶ + 21b⁵ − 72b⁴ − 3028b³ − 5184b² + 108864b + 373248 = 0 Szukasz pierwiastka wśród podzielników wyrazów wolnego. Powodzenia.

jikA: Teraz pokażę o co chodzi w moim sposobie. Jeżeli c − b = 1 to a = 2 wtedy mamy dwie możliwości takich liczb b oraz c aby spełniało

	72
równanie c − b = 1 oraz warunek c =		mianowicie (b = 8 ∧ c = 9) ∨ (b = −9 ∨ c = −8)
	b

albo po prostu zrobić z tego równanie kwadratowe

72
	− b = 1 / * b
b

b² + b − 72 = 0 (b − 8)(b + 9) = 0 ⇒ b = 8 ∨ b = −9 jeżeli c − b = −1 to a = −2 wtedy mamy również dwie możliwości takich liczb b oraz c (b = 9 ∧ c = 8) ∨ (b = −8 ∧ c = −9) lub tak jak poprzednio

72
	− b = −1 / * b
b

b² − b − 72 = 0 (b − 9)(b + 8) = 0 ⇒ b = 9 ∨ b = −8 jeżeli c − b = 2 to a = 1 wtedy nie ma takiej pary liczb b oraz c (całkowitych) aby spełniały

	72
równanie c − b = 2 oraz c =		można to pokazać doprowadzając do
	b

równania kwadratowego

72
	− b = 2 / * b
b

b² + 2b − 72 = 0 (b + 1)² − 71 = 0 (b + 1 − √71)(b + 1 + √71) = 0 ⇒ b = −1 ± √71 jeżeli c − b = −2 to a = −1 wtedy nie ma takiej pary liczb b oraz c (całkowitych) aby spełniały

	72
równanie c − b = 2 oraz c =		można to pokazać doprowadzając do
	b

równania kwadratowego

72
	− b = −2 / * b
b

b² − 2b − 72 = 0 (b − 1)² − 71 = 0 (b − 1 − √71)(b − 1 + √71) = 0 ⇒ b = 1 ± √71 Teraz sprawdzam wstawiając nasze pary do pierwszego rozwiązania dla a = 2 ∧ b = 8 ∧ c = 9 9 + 8 − 2² = −21 13 = −21⇒ sprzeczność (ta para liczb nie jest rozwiązaniem) dla a = 2 ∧ b = −9 ∧ c = −8 −8 − 9 + 2² = −21 −21 = −21 (ta para liczb jest rozwiązaniem) dla a = −2 ∧ b = 9 ∧ c = 8 8 + 9 − (−2)² = −21 13 = −21 ⇒ sprzeczność (ta para liczb nie jest rozwiązaniem) dla a = −2 ∧ b = −8 ∧ c = −9 −9 − 8 − (−2)² = −21 −21 = −21 (ta para liczb jest rozwiązaniem). Ostatecznie otrzymujemy dwie pary takich liczb które spełniają dany układ równań i są całkowite (a = 2 ∧ b = −9 ∧ c = −8) ∨ (a = −2 ∧ b = −8 ∧ c = −9).

Trivial: Zauważmy najpierw, że a = 0 nie jest rozwiązaniem. c+b = a² − 21

	2
c−b =
	a

bc = 72

	1		2
c =		((a2−21) +		)
	2		a

	1		2
b =		((a2−21) −		)
	2		a

	1		4
bc =		((a2−21)2 −		) = 72
	4		a2

Podstawiamy teraz a² = u, u > 0

	4
(u−21)2 −		= 288
	u

	4
u2 − 42u + (441−288) −		= 0
	u

u³ − 42u² + 153u − 4 = 0 Zbiór kandydatów na wymierne pierwiastki wielomianu jest K = { 1, 2, 4 } Sprawdźmy u = 4: 1 −42 153 −4 4 4 −152 4 1 −38 1 0 (u−4)(u² − 38u + 1) = 0 Pozostałe rozwiązania nie będą całkowite. Skoro u = 4, to:

	1
a1 = 2, b1 =		(4−21 − 1) = −9, c1 = −8
	2

a₂ = −2, b₂ = c₁ = −8, c₂ = b₁ = −9 Czyli nasze rozwiązania to: (a,b,c) = (2,−9,−8) lub (a,b,c) = (−2,−8,−9)