zadanko matura Grahamek: miałem dziś na teście zadanie o mniej więcej takiej treści: suma trzech liczb jest równa 26, pierwsza liczba jest 3 razy mniejsza od drugiej. wyznacz je tak, by suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. proszę o pomoc

Dominik: oznacze te liczby jako x, 3x, y x + 3x + y = 26 4x + y = 26 y = 26 − 4x f(x) = x² + (3x)² + y² = x² + 9x² + (26 − 4x)² = 10x² + 676 + 16x² − 208x = 26x² − 208x + 676

	13
Df = (0,		)
	2

f(x) = 26x² − 208x + 676 = 26(x² − 8x + 26) = 26(x² − 8x + 16 + 10) = 26(x² − 8x + 16) + 260 = 26(x − 4)² + 260 x_w = 4 ∊ D_f zatem te liczby to 4, 12, 10.

Grahamek: czy wyznaczenie liczb jest koniecznie? bo tego nie bylo w poleceniu.

Dominik: suma trzech liczb jest równa 26, pierwsza liczba jest 3 razy mniejsza od drugiej. wyznacz je tak, by suma kwadratów tych liczb była najmniejsza.

Grahamek: teraz wszystko mi się przypomina i miałem 16x zamiast 16x²? ile może punktów mogą mi uciąć za taki błąd jeśli całe zadanie było na 4pkt. a po karkołomnych wyliczeniach doszedłem do rozwiązania z dobrym schematem myślenia?

Dominik: w jaki sposob otrzymales dobre liczby, jesli miales zla funkcje? zgadles? obstawiam 1−2 pkt.

Dominik: pewnie jest taka punktacja 1) wyznaczenie wzoru funkcji 2) wyznaczenie dziedziny 3) policzenie ekstremum 4) podanie prawidlowej odpowiedzi, bez bledow rachunkowych.

Grahamek: nie miałem dobrych liczb jedynie schemat działania, doszedłem do x wierzchołka, niestety ze złym wynikiem oraz bez wyznaczania liczb.

Grahamek: ok. zatem trzeba będzie wykonywać wszystko bardziej uważnie dzięki

pankracy: Co w tym zadaniu jest dziedziną

Dominik:

	13
Df = (0,		)
	2

pankracy: dlaczego akurat te wartości

Dominik: mielismy takie rownanie 4x + y = 26 z ktorego wyznaczamy y, by otrzymac funkcje od zmiennej x. dziedzine jest najprosciej w takim

	13
zadaniu wyznaczyc poprzez "zakrycie" y − wtedy otrzymujemy rownanie 4x = 26 ⇒ x =		. x
	2

	13
tej wartosci osiagnac nie moze, zatem x∊(0,		). czemu od 0 chyba nie musze tlumaczyc.
	2

dla lepszego zoobrazowania sobie o co chodzi zauwaz co sie dzieje przy x = 6. x + 3x = 24 OK, nie przekroczylo 26, zatem jakis y istnieje zeby dopelnic do 26. a gdy dam x = 7, czyli wartosc spoza dziedziny x + 3x = 28 > 26 mam nadzieje, ze jasne.

pankracy: Pierwsze słysze o wyznaczaniu dziedziny poprzez "zakrycie" w tym przypadku y−ka. a czy masz jakiś przykład zadanka w którym to funkcjonuje? lub czy są jakieś typowe zadania w których należy to wykonywać w ten sposób?

Dominik: zrobilem wszystkie zadania optymalizacyjne ze zbioru andrzeja kielbasy i taka metoda jak najbardziej dzialala.

Dominik: na najprostszym zadaniu optymalizacyjnym: obwod prostokata wynosi 20cm, wyznaczyc dlugosc bokow, aby jego pole bylo najwieksze. a + b = 10 ⇒ b = 10 − 5 "zakrywamy"b i mamy a∊(0, 10).

Dominik: nie wiem, moze jest jakas bardziej matematyczna metoda na to. ja robiac zadania wpadlem na taki sposob − jest prawidlowy i to sie dla mnie liczy.

pankracy: to już brzmi lepiej, zaczynam czaić, zresztą już wcześniej to rozumiałem, ale cięższy przykład zagmatwał dzięki