Indukcja matematyczna. Wykazanie. wajdzik: Korzystając z zasady indukcji matematycznej,wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n: 4/5⁵ⁿ⁻²+7 T(n):5⁵ⁿ⁻²+7=4*k,k∊Z Dowód indukcyjny: 1.Sprawdzenie dla n=1 T(1)=5³+7=132=4*33,33∊Z 2.Zakładam, że dla n≥1 liczba 7ⁿ−1 dzieli się przez 3. Istnieje zatem liczba całkowita k taka,że: 5⁵ⁿ⁻²+7=3*k Wykażę, że liczba 5⁵ⁿ⁻²+7=4*k także dzieli się przez 3, czyli istnieje liczba całkowita l taka, że: 5⁵ⁿ⁻²+7=4*k=3*l. Dówód: Z założenia mamy:5⁵ⁿ⁻²=4k−7

	1		1		3		182
Zatem: 55n−2+7=55n*(−		+7=*3k−7)*(−		)+7=−		k+		=
	25		25		25		25

=−3k+182 Coś tutaj poknociłem, pomoże ktoś?

PW: 2.Zakładam, że dla n≥1 liczba 7n−1 dzieli się przez 3. Istnieje zatem liczba całkowita k taka,że: 5⁵ⁿ⁻²+7=3*k To cytat. I tu nie rozumiem − dlaczego takie założenie? Założenie indukcyjne powinno być powtórzeniem tezy: Założenie indukcyjne: Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n, to znaczy 5⁵ⁿ⁻²+7 dzieli się przez 4. Teza indukcyjna: Twierdzenie jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej,, to znaczy 5^5(n+1)−2+7 dzieli się przez 4.

wajdzik: Ok, rozumiem. Mam teraz problem z dowodem. Założenie: 5⁵ⁿ⁻²=4k−7 Zatem: 5^5(n+1)−2+7=? Nie wiem za bardzo jak dalej to pociągnąć.

wajdzik:

wajdzik: Mógłby ktoś pomóc?

wajdzik:

PW: 5⁵ⁿ⁻²•5⁵+7=5⁵ⁿ⁻²+7 + 5⁵ⁿ⁻²•(5⁵−1) Pierwsze dwa składniki podzielne przez 4 na mocy założenia, a liczba 5⁵−1 podzielna przez 4, co łatwo sprawdzić bezpośrednio.

wajdzik: 3124:4=781 Zgadza się, analizowałem to co mi napisałeś i nie wiem za bardzo skąd się wzięło 5⁵. Należy tutaj coś jeszcze na koniec zamieścić?

PW: 5^5(n+1)−2+7=5⁵ⁿ⁺⁵⁻²+7=5⁵ⁿ⁻²•5⁵+7 Ponieważ zależy nam na skorzystaniu z założenia, gdzie jest j e d n o 5⁵ⁿ⁻², bierzemy jedno: 5^5(n+1)−2+7 = 5⁵ⁿ⁻²•1+7 + 5⁵ⁿ⁻²•(5⁵−1)