wartość najmniejsza Tomek: suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 4, a kąt zawarty między nimi ma miarę 60^o. oblicz najmniejszą wartość obwodu trójkąta. Prosze o pomoc !

Nienor: Założenia: a,b,c>0 ∧ 3b²−12b+16>0 ⋀ b∊R 4−b>0 b<4 a+b=4 ⇒ a=4−b z zadania c²=a²+b²−2abcos60^o z twierdzenia kosinusów O=a+b+c=4+c c²=(4−b)²+b²−b(4−b) c²=16−8b+b²+b²−4b+b² c²=3b²−12b+16 c=√3b²−12b+16 O(b)=4 + √3b²−12b+16 Jak jesteś na studiach liczysz pierwszą pochodną z √3b²−12b+16 przyrównujesz do 0 i szukasz ekstremów pamiętając o dziedzinie (4 pomijasz, bo nic nie wnosi do zadania) Jak jesteś w liceum to stwierdzasz, że ten pierwiastek ma wartość najmniejsz, kiedy funkcja pod pierwiastkiem ma wartość najmniejszą, szukasz jej standardowo, pamiętając o dziedzinie.

Tomek: dzięki za wytłumaczenie. doszedłem do tego samego etapu ale nie wiedziałem ze potrzebna jest pochodna

Bogdan: Niepotrzebna jest tu pochodna do rozwiązania tego zadania

Bogdan: a > 0, b> 0, c > 0

	1
Obwód L = 4 + c i a + b = 4 ⇒ b = 4 − a, cos60o =		,
	2

	1
z twierdzenia cosinusów: c2 = a2 + b2 − 2ab*		⇒ c2 = a2 + (4 − a)2 − a(4 − a)
	2

c² = a² + 16 − 8a + a² − 4a + a² ⇒ c² = 3a² − 12a + 16 c² osiąga najmniejszą wartość wtedy gdy funkcja f(a) = 3a² − 12a + 16 osiąga minimum. Funkcja f(a) jest funkcja kwadratową, której wykresem jest parabola skierowana ramionami

	12
do góry, parabola ta posiada minimum dla a =		= 2.
	6

a = 2 i b = 4 − a = 2, c² = 3*2² − 12*2 + 16 = 4 ⇒ c = 2. Trójkąt jest równoboczny, każdy bok ma długość 2.