udowodnij,że d4mian: 1.Uzasadnij.że liczba a=10³ + 10⁴ + 10⁵ jest podzielna przez 3 2. Uzasadnij, że suma cyfr liczby x = 10¹¹¹ − 111 jest równa 977 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3. 4. Wykaż, że jeżeli x+y=7 i x²−y² = 49, to x*y=0 5. Wykaż, że jeżeli x+y=16, x∊R i y∊R, to x² + y² ≥ 128 6. Wykaż, że liczba a = 7⁸ − 5⁸ jest liczbą parzystą

Aga: zad. 1 wyłączasz przed nawias 10³ i masz: 10³ (1+10+10⁾ = 10³ * 111 = 10³ * 3 * 37 cnd.

zombi: W drugim nie powinno być 997?

zombi: 6. 7⁸−5⁸=(7−5)(...) wzorek aⁿ−bⁿ

zombi: 3. a²−b²=... z tym, że a=3k+1 b=3k+2

zombi: x+y=7 (x+y)(x−y)=49 ⇒ x−y=7 czyly (x+y)²=(x−y)² xy=−xy ⇒ xy=0

zombi: kwadratowa−aryt

	x2+y2		x+y
√		≥		/2
	2		2

	(x+y)2
x2+y2 ≥
	2

x²+y²≥128

zombi: odnośnie 2. 10¹¹¹−1 daje nam 111 dziewiątek gdy odejmiesz 10 dostaniesz 111*9−1 poniewaz jedna z dziewiatek zmieni sie na 8, gdy nastepnie odejmiesz 100 kolejna 9 zmieni sie na 8 zatem 999−2=997

Krzys: Pierwsze jest rozwiazane, wiec zad 2. 10² ma dwa zera, 10³ ma trzy, wiec 10¹¹¹ ma 111 zer (I jedynke przed). Aby odjac liczbe 111 bedziemy musieli zapisac ta liczbe jako 110 dziewiatek i liczba 10; po odjeciu 111 otrzymamy prawie same cyfry 9 (tylko dwie cyfry 8). Uzupelniasz te dwie osemki do dziewieciu i musisz odjac dwa! Ile masz w sumie cyfr? 111. Wiec 999−2=997. "Zombi" podal ten wynik! Dal tez podpowiedz do rozwiazania zadania 3 i zadania 6. Inna metoda dla zad. 6: zauwaz, ze kazda potega liczby siedem konczy sie na 1, lub 3, lub 7, lub 9; a kazda potega liczby 5 konczy sie na 5. Odejmujac te potegi, ostatnia cyfra jest zawsze parzysta, co dowodzi, ze roznica musi byc parzysta. Zadanie 4. Poniewaz x²−y²=(x+y)(x−y)=7(x−y)=49, zatem x−y=7. Suma x i y jest 7 oraz roznica x i y jest 7 tylko wtedy, gdy y jest 0. Dlatego iloczyn xy=0. Zad. 5. y=16−x, zatem x²+y²=x²+(16−x)²=2(x²−16x+128). Wierzcholek paraboli ma wspolrzedne x=8, y=128.