DOWÓD ***mat***: ICFI=IFDI i ICEI=IBEI, udowodnij IBGI=IGHI=IHDI

Bogdan: Wskazówki są na rysunku.

***mat***: hmm rozumiem, że w trójkącie poprowadziłeś odcinek łączący środki boków, tak więc ma on długość x+0,5y, pod warunkiem, że IBGI=IHDI.. a to mamy dopiero udowodnić... nie rozumiem, mógłbyś mi coś jeszcze podpowiedzieć? proszę

***mat***: ?

***mat***: no proszę, ludzie podpowiedzcie mi bo myślę nad tym od godziny i nie mogę...

Edek: zrób sobie przerwę zawsze to pomaga i wróć do zadania rano

***mat***: dzięki dzięki, ale nie skorzystam. ludzie podpowiedzcie, albo Bogdanie wyjaśnij co Twoja wskazówka miała mi dać?

Bogdan: No cóż, czasami nie wystarczy godzina, a nawet dwie godziny, żeby wpaść na pomysł rozwiązania zadania. e = z + w = x + y Z podobieństwa trójkątów: EPC i GSC:

e   2		c   + c 2		1		1		2
	=		⇒ w =		e i z = e − w = e −		e =		e
w		c		3		3		3

Z podobieństwa trójkątów: FPC i HSC:

e   2		c   + c 2		1		1		2
	=		⇒ y =		e i x = e − y = e −		e =		e
y		c		3		3		3

	1		1		2
w =		e i y =		e ⇒ w + y =		e = x = z
	3		3		3

Bogdan: Drugie rozwiązanie. x+ y = z + w

	1   a + a   2		1   a 2
Z podobieństwa trójkątów: KEF i KSH:		=		⇒ x = 2y
	x + y		y

	1
i x + y = 2y + y = 3y i y =		x
	2

	1   b + b   2		1   b 2
Z podobieństwa trójkątów: LEF i LGS:		=		⇒ z = 2w
	z + w		w

	1
i z + w = 2w + w = 3w i w =		z
	2

Z równości: x+ y = z + w ⇒ 3y = 3w ⇒ y = w oraz x + w = z + w ⇒ x = z Z równości:

	1		1		1		1		1		1
y =		x i w =		z ⇒ y + w =		x +		z =		x +		x = x = z
	2		2		2		2		2		2

Bogdan: Trzecie rozwiązanie:

	a		x		1
Z podobieństwa trójkątów: FBH i KSH:		=		⇒ y =		x i x = 2y
	a   2		y		2

	1		3
x + y = 2y + y = 3y oraz x + y = x +		x =		x
	2		2

	b		z		1
Z podobieństwa trójkątów: EDG i LSG:		=		⇒ w =		z i z = 2w
	b   2		w		2

	1		3
z + w = 2w + w = 3w oraz z + w = z +		z =		z
	2		2

	3		3
Z równości: x + y = z + w ⇒ 3y = 3w ⇒ y = w oraz		x =		z ⇒ x = z
	2		2

	1
y + w = y + y = 2y = 2 *		x = x = z
	2

Bogdan: Czwarte rozwiązanie. Wróćmy do pierwszego rysunku. Odcinki EF i DB są równoległe. |EF| = |BS| = |SD| Przekątna AC zawiera środkową PC trójkąta EFC i środkową SC trójkąta GHC, |EP| = |PF| i ze względu na równoległość EF i DB: |GS| = |SH|.

	1
|GH| = y ⇒ |GS| = |SH| =		y
	2

|HB| = x

	1
|EF| = |BS| ⇒ x +		y
	2

	1
oraz |SD| = |DG| + |GS| ⇒ |SD| = |DG| +		y,
	2

	1		1
|SD| = |BS| ⇒ |SD| = |DG| +		y i |SD| = x +		y ⇒ |DG| = x
	2		2

	1
Z faktu: |KS| =		|FB| i z podobieństwa trójkątów FBH i KSH:
	2

|FB|		|HB|		|FB|		x
	=		⇒		=		⇒ x = y
|KS|		|SH|		1   |FB| 2		1   y 2

|HB| = |GH| = |DG|