Trudna geometria Maciek-Żory: Przez jaki punkt krzywej o równaniu: x² − 2x + y = 0 należy poprowadzić styczną do niej, aby trapez ograniczony tą styczną i prostymi o równaniach: x = 0, y =0, x = 1 miał najmniejsze pole?

Janek191: x² − 2 x + y = 0 ; x = 0, y = 0, x = 1 czyli y = x² − 2 x −−−−−−−−−−−−−− Prosta styczna y =a x + b Mamy a x + b = x² − 2 x x² −2 x − a x − b = 0 x² − (2 + a) x − b = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Δ = [ − ( 2 + a)]² − 4*1*( −b) = 4 + 4a + a² + 4b Aby prosta była styczna do paraboli Δ musi równać się 0, zatem 4 + 4 a + a² + 4 b = 0 4 b = − a² − 4 a − 4 / : 4 b = − 0,25 a² − a − 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− y = a x − 0,25 a² − a − 1 Punkty przecięcia tej prostej z prostymi x = 0 i x = 1 x = 0 ⇒ y = − 0,25 a² − a − 1 A = ( 0 ; − 0,25 a² − a − 1 ) x = 1 ⇒ y = a − 0,25 a² − a − 1 = − 0,25 a² − 1 B = ( 1; a − 0,25 a² − a − 1) d = 0 − ( − 0,25 a² − a − 1) = 0,25 a² + a + 1 − odległość punktu A od osi OX : y =0 c = 0 − ( − 0,25 a² − 1) = 0,25 a + 1 − odległość punktu B od osi OX ; y = 0 czyli c , d − długości podstaw trapezu h − wysokość trapezu h = 1 − 0 = 1 Pole trapezu: P = 0,5 *( c + d) *h = 0,5*( 0,25 a² + 1 + 0,25 a² + a + 1) = 0,5*(0,5 a² + a + 2) P = 0,25 a² + 0,5 a + 1 ====================== 0,25 > 0 zatem funkcja P( a) posiada najmniejszą wartość

	− 0,5
dla a = p =		= − 1
	2*0,25

Prosta styczna ma równanie y = − x + b −−−−−−−−−−−−−−− więc − x + b = x² − 2x x² − x − b = 0

	−1
Δ1 = (−1)2 − 4*1*(−b) = 1 + 4 b = 0 ⇒ b =
	4

	1
y = − x −
	4

============ Szukam punktu styczności tej prostej z daną parabolą y = x² − 2 x

	1
− x −		= x2 − 2x
	4

	1
x2 − x +		= 0
	4

	1
Δ2 = (−1)2 − 4*1*		= 1 − 1 = 0
	4

więc

	1
x =
	2

============

	1		1		3
y = −		−		= −
	2		4		4

============================ Odp. Aby trapez miał najmniejsze pole należy poprowadzić styczną przez

	1		3
punkt P = (		; −		)
	2		4