dowodzenie Sheppard: udowodnij ze iloczyn cyfr dowolnej liczby czterocyfrowej jest niejszy od tej liczby

PW: Niech liczby zapisane poszczególnymi cyframi rozpatrywanej liczby będą równe c₁, c₂, c₃, c₄. Jest oczywiste, że c₁c₂c₃c₄≤9⁴<10⁴, a 10⁴ jest najmniejszą liczbą czterocyfrową. To kończy dowód.

Mila: OOO! Jest PW.

PW: Milu, z radością powracam po ciężkiej infekcji (jakiś bandyta zaatakował mój komputer, gdyby nie wieloletnia praktyka "grzebania" w ustawieniach, musiałbym od nowa instalować wszystko, a tak zajęło mi to tylko 4 dni).

Prometix: PW co to za dowód 9⁴=6561 a 6561 jest liczbą czterocyfrową. natomisat 10⁴=10 000 i to jest liczba pieciocyfrowa z tego co wiem .

PW: Prometix, masz rację − chwila nieuwagi i głupstwo totalne, tak łatwo to nie wyjdzie. Chwilę pomyślę − chyba że masz dowód?

Ajtek: PW udowodnił, że liczba 9999 jest mniejsza od iloczynu cyfr w tej liczbie. Wg mnie wystarczy, ponieważ 9999 jest największą czterocyfrową liczbą. Co za tym idzie ma największy iloczyn cyfr.

Prometix: myslalem nad tym i powiem szczerze, ze jest to ciekawe zadanie probowalem zrobic tak : liczba 4 cyfrowa : 1000a+100b+10c+d ( oczywiscie a≠0 i a,b,c,d∊{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) czyli trzeba dowieść; a*b*c*d < 1000a+100b+10c+d jednak nie wiem czy to dobry pomysl

Prometix: no tak ale na jakiej podstawie twierdzisz ze to sie sprawdzi dla kazdej liczby jakos tego nie widze

Ajtek: Tak wynika z treści zadania. Nierównośc zapisana poprawnie.

Prometix: no ok ale wez tą nierowność rozwiąż

jikA: 1000 * x + 100 * y + 10 * z + v − liczba czterocyfrowa x * y * z * v − iloczyn cyfr czterocyfrowej 1000 * x + 100 * y + 10 * z + v > x * y * z * v Jak widzimy iloczyn cyfr x * y * z * v będzie największy kiedy x = y = z = v = 9 a więc 1000 * 9 + 100 * 9 + 10 * 9 + 9 = 9000 + 900 + 90 + 9 = 9999 > 9 * 9 * 9 * 9 = 9⁴ = 6561. Nie wiem czy może być coś takiego.

Prometix: generalnie w matematyce podstawianie liczb myslę że jest mało atrakcyjne bo chodzi przecież o dowód a w tym przypadku dowodzisz tylko jednej nierownosci skad ta pewnosc ze wszystkie inne sa prawdziwe? ( oczywiscie mozna powiedziec ze "to widac " ale co to za dowod )

Ajtek: jikA to samo zrobił PW. Swoją drogą PW, dlaczego jesteś na czarno, a nie a kolorowo?

Mila: PW, od pewnego czasu też mam kłopoty z komputerem i po świętach zanoszę do informatyka. Myślę, że na forum złapałam wirusa, mam zabezpieczenia, szukałam szkodników, ale nie wiadomo dlaczego nagle wyłącza się , albo zawiesza.

Ajtek: Mila, nie wiem czy może mieć to jakiś związek z forum. Mój jeszcze działa .

Artur_z_miasta_Neptuna: no to może tak: oczywistą oczywistością jest ... że jeżeli istniałaby taka liczba czterocyfrowa, to: a≤b≤c≤d (inne układy też mogłyby istnieć ... ale ten przede wszystkim) z oczywistych względów a≠0 jeżeli a=1 ... to b*c*d ≤9³ < 10³ = 1'000 < [1bcd] jeżeli a=2 ... to 2*b*c*d ≤2*9³ < 2*10³ = 2'000 < [2bcd] itd. jeżeli a=9 ... to 9*b*c*d ≤9*9³ ≤ 9*10³ = 9'000 < [9bcd] c.n.w.

Prometix: no teraz to widac jak dla mnie przekonujacy dowod

Prometix: tylko jak wspomniales niekoniecznie a≤b≤c≤d moze byc przeciez c≥d

jikA: Dobra najbanalniejszy sposób.

	1
1000x + 100y + 10z + v > xyzv / *
	xyzv

1000		100		10		1
	+		+		+		> 1
yzv		xzv		xyv		xyz

	1000
Teraz wystarczy pokazać że		jest większe od 1.
	yzv

Prometix: tylko iloczyn xyzv moze byc rowny 0 wiec nie bardzo

Ajtek:

jikA: Ale to zakładasz że iloczyn nie jest równy 0 bo wtedy to wiadomo że liczba czterocyfrowa jest większa.

Prometix: jezeli tak zalozysz to ok , ale nie zalozyles

jikA: Dla mnie to akurat oczywista oczywistość ale mogłem to zapisać tutaj żeby nie było.

PW: Dla dwucyfrowej: 10c₁+c₀>c₁•c₀, bo 10c₁>c₀(c₁−1), co wynika z faktu, że 10>c₀ i c₁>c₁−1 Dla trzycyfrowej: 100c₂+10c₁+c₀>c₂c₁c₀, bo 100c₂+10c₁+c₀>100c₂+c₁c₀>c₁c₀c₂+c₁c₀>c₂c₁c₀, co wynika z dowodu dla liczby dwucyfrowej oraz z faktu, że 100>c₀c₁ Da się "pociągnąć" na czterocyfrowe?

Prometix: mozesz mi wyjasnic to dla trzycyfrowej bo nie rozumiem , moze to juz taka pora 100c2+10c1+c0>c2c1c0 to jest jasne ale to 100c2+10c1+c0>100c2+c1c0>c1c0c2+c1c0>c2c1c0 juz mniej

PW: 10c₁+c₀>c₁c₀ − z dowodu dla dwucyfrowej. 100>c₁c₀ − oczywiste (tabliczka mnożenia, czy jak chciałem w pierwszej wersji 100>9²>c₀c₁) Rzeczywiście już późno, idę spać (zajrzę tu jutro).

Prometix: oka do jutra ^^

PW: Zadanie jest banalne, wczoraj coś nie szło. Liczba czterocyfrowa ma postać 1000c₃+100c+2+10c₁+c₀>1000c₃>9•9•9•c₃≥c₀•c₁•c₂•c₃, co wynika z faktu, że 1000>999 oraz 9≥c₀ i 9≥c₁ i 9≥c₂.

PW: Chochlik: 1000c₃+100c₂+100c₁+c₀ 1000>9•9•9 (zmieniłem klawiaturę i co napiszę, to źle).

Eta: