Układ równań bezendu: Jak rozwiązać taki układ równań ? jakieś wskazówki ? |x|+|y|=3 2x−y=3

ICSP: rozpisz przedziałami

Licealista_Theosh: Podejrzewam że musisz rozpatrzyć w przedziałach i rozbić to na dwa układy równań.

iiiii: ja bym rozkminil 4 przypadki ( czyli 4 cwiartki ) x<0 i y<0 x<0 i y >0 itd i x oraz y musi nalezec do danej cwiartki w nrozwiazaniu pozmniej bo jak nie to sprzecznosc

bezendu: czyli 3 przedziały ? (−∞;0) <0;1,5) <1,5;∞)

krystek: 1) x>0i y>0 2)x>0 i y<0 3)x<0i y>0 4x<0 i y<0

ICSP: przypadkami nie przedziałami Będą 4 przypadki

bezendu: nie rozumiem jakie przypadki mam z drugiego y=2x−3 |x|+|2x−3|=0 czyli to trzeba chyba rozwiązać jak równanie z wartością bezwzględną

Licealista_Theosh: Ale Y może mieć różne znaki od x. To co napisałeś jest prawdziwe dla jednego przypadku. Zostały jeszcze 3.

Dominik: musisz rozpatrzyc trzy przypadki (takie jak podala krystek) i w kazdym z nich opuscic znak wartosci bezwglednej. np dla przypadku trzeciego (x < 0 ∧ y > 0)

⎧	−x + y 3
⎩	2x − y = 3

najlatwiej jest te rownania po prostu dodac i od razu wyznaczyc x. nastepnie nalezy sprawdzic czy spelnia on zalozenie x < 0 i jesli tak to wyznaczyc y (i znowu sprawdzic czy sprawdza zalozenie, tym razem y > 0). jesli pierwiastki nie spelniaja zalozen nalezy przejsc do kolejnego przypadku.

bezendu: ok dziękuje

krystek: 1) układ x+y=3 2x−y=3 __________ 2)x−y=3 ... _________ 3) −x+y=3 ...... __________ 4) −x−y=3 ... __________

bezendu: x+y=3 2x−y=3 x−y=3 2x−y=3 −x+y=3 2x−y=3 −x−y=3 2x−y=3

Mila: 1) graficznie: |x|+|y|=3 to jest kwadrat o wierzchołkach(3,0)(−3,0)(0,3)(0,−3) 2x−y=3⇔y=2x−3 Odczytujesz i sprawdzasz x=0 i y=−3 x=2 i y=1 2) Jeśli niedokładne punkty, to rozwiązujesz równania : 2x−y=3 y=−x+3 równanie prostej AB, podstawiam do pierwszego 2x−(−x+3)=3 ⇔3x=6 ⇔x=2, to y=−2+3=1 para: (2,1) Drugi układ 2x−y=3 i y=x−3 równanie prostej AD 2x−(x−3)=3⇔x=0 i y=−3 para:(0,−3) Metoda algebraiczna w nowym wpisie, potrzebny rysunek a)

Mila: |x|+|y|=3 i 2x−y=3 y=2x−3 |x|+|2x−3|=3 |x|=x dla x≥0

	3
|2x−3|=2x−3 dla x≥
	2

a) x<0 −x−2x+3=3 −3x=0 ∉(−∞,0)

	3
b) x∊<0,		)
	2

x−2x+3=3 −x=0 x=0 i y=−3

	3
c) x∊<		,∞)
	2

x+2x−3=3⇔3x=6⇔x=2 x=2 i y=1

bezendu: czyli na upartego można to zrobić tym drugim sposobem który już mi pokazywałaś ?

Mila: Co to znaczy na upartego. ( i nie wiem o który sposób Ci chodzi) Wszystkie podane propozycje są właściwe. Sposób rozwiązania dostosowujesz do przykładu, rozwiązujesz tym sposobem, który najlepiej umiesz,i który jest najprostszy, realizujesz polecenia. W tym przykładzie najlepszy dla mnie ten 21:31 punkt (1). Podałam kompleksowe rozwiązanie, tu nie było polecenia rozwiązania graficznego. Zwykle proszą przy takim typie jak pierwsze równanie.

bezendu: czyli żeby od razu zrobić to na przedziały (−∞;0) <0;1,5) <1,5;∞)

Mila:

bezendu: bez rozpatrywania warunków które podała krystek a metody graficznej jeszcze nie poznałem ale podobnież jest łatwiejsza od algebraicznej

Mila: Krystek podała inny sposób, bardzo pożyteczny w różnych układach z wartością bezwzględną. Radzę Ci rozwiązać ten układ też tym sposobem. Wtedy wyciągaj wnioski.

bezendu: Ok dziękuję za radę i za szczegółowe opisanie rozwiązania ale dziś już idę spać więc zrobię to jutro (mam jeszcze jeden układ do zrobienia) Dobranoc

Mila: Dobranoc, do jutra

bezendu: Hey Mila posłuchałem Twojej rady i zrobiłem ten układ tak jak podała Krystek ale to chyba są złe założenia bo w drugim przypadku 2) x>0 i y<0 x−y=3/ (−1) 2x−y=3 −x+y=−3 2x−y=3 x=0 2*0−y=3 y=−3 i to nie należy bo x>0 a U Ciebie w rozwiązaniu jest że para liczb 0,−3 jest rozwiązaniem więc ja zrobiłem tak : (nie wiem czy dobrze ale własność chyba jest taka |x| = x≥0 −x<0 ) 1) x≥0 i y≥0 2) x≥0 i y<0 3) x<0 i y<0 4) x<0 i y ≥0 1) x+y=3 2x−y=3 3x=6/3 x=2 2*2−y=3 −y=−1 y=1 2) x−y=3 /(−1) 2x−y=3 −x+y=−3 2x−y=3 x=0 2*0−y=3 −y=3 y=−3 3) −x−y=3 /(−1) 2x−y=3 x+y−3 2x−y=3 3x=0/3 x=0 2*0−y=3 −y=3 y=−3 4) −x+y=3 2x−y=3 x=6 2*6−y=3 −y=−9 y=9 odp rozwiązaniem układu są pary liczb (2,1) ∨ (0,−3)

Mila: Rozważamy x≥0 lub x<0 y≥0 lub y<0 Dobrze ustawiłeś warunki. Po rozwiązaniu w poszczególnych punktach odnotuj, że cos nie należy do dziedziny, bo się pogubisz z odpowiedzią. Widzisz teraz, że tą metodą sporo liczenia. Gdy, pod koniec tygodnia będziesz miał czas, to Ci przygotuję przykład na tę metode.

bezendu: Ok dziękuje mam jeszcze jedno zadanie z wartością bezwzględną zaraz wstawię

bezendu: Punktom A i B leżącym na osi liczbowej, odpowiadają liczby 3m−4 i m²−m, gdzie m jest pewną liczbą rzeczywistą. Wyraź odległość punktów A i B w zależności od wartości m korzystam z |b−a| |m²−m−(3m−4)| |m²−m−3m+4| |m²−4m+4| |(m−2)²|=(m−2)² i teraz mogę tak zostawić czy lepiej napisać tą oczywistość (a−b)²≥0 ?

bezendu: ostatni układ już |x|−y=2 x−|y|=0 1) x≥0 ∧ y≥0 x−y=2 x−y=0 0=2 sprzeczność 2) x≥0 ∧ y<0 x−y=2 x+y=0 2x=2 x=1 1−y=2 x ∊ x≥0 −y=1 y∊ y<0 y=−1 3) x<0 ∧ y<0 −x−y=2 x+y=0 0=2 sprzeczność 4) x<0 ∧ y≥0 −x−y=2 x−y=0 −2y=2/2 −y=1 y=−1 ⊄ y≥0

Mila: Dobrze. zapisy w punkcie (2) x∊<0,∞) y∊(−∞,0) albo x∊D,y∊D w punkcie (4) y∉D albo y∉<0,∞)

bezendu: ok będę pamiętał o tym zapisie a mogłabyś zobaczyć post z 20:47

Mila: Dobrze masz. Możesz dla świętego spokoju dopisać.

bezendu: Dziękuje

pigor: ... mała uwaga praktyczna do rozwiązania układu powyżej : otóż warto zauważyć, że może być tylko x≥0 ( odpada więc przypadek x<0), bo po przekształceniu mamy kolejno |x|−y=2 i x−|y|=0 ⇔ |y|=x i x≥0 (z definicji modułu) i |x|=y+2 i y+2 ≥0 wtedy ⇔ ⇔ (y=−x lub y=x) i x ≥0 i (x=−x+2 lub x=x+2) i y >−2 ⇔ (x=1 lub 0=2) i y=−1 ⇔ ⇔ (x,y)=(1,−1) i koniec . ...

bezendu: czemu odpada x<0 ?

pigor: .. , czyżbyś nie czytał że zrozumieniem tu właśnie wyjaśniam "|y|=x i x≥0 (z definicji modułu)" , bo gdyby było x<0 to równość |y|=x nie miałaby sensu właśnie z definicji modułu (wartości bezwzględnej liczby)

bezendu: ok dziękuję

Mila: Tak, do każdego zadania należy podchodzić indywidualnie. To, co zauważył Pigor, często ułatwia i skraca rozwiązanie. Warto zobaczyć, jak wygląda sytuacja, gdy dokonamy przekształcenia.

bezendu: ale chyba błędem nie jest że nie zrobię tego przekształcenia co Pigor tylko policzę tym sposobem co podała Krystek

Mila: Napisałam Ci, że dobrze jest, ale uwaga jest bardzo cenna, bo skraca rozwiązanie.

pigor: ... i właśnie o to "skracanie" każdego rozwiązania mi chodzi, bo czas to pieniądz zwłaszcza na ... ograniczonym w czasie egzaminie, maturze .itp. ...