. asdf: Witam pochodne Wyznacz n−tą pochodną i napisz wzór Maclaurina z resztą Lagrange'a: f(x) = sinx; f(0) = 0 f'(x) = cosx; f'(0) = 1 f''(x) = −sinx; f''(0) = 0 f'''(x) = −cosx; f'''(0) = − 1 .... wzór na rąd pochodnej wyznaczyłem:

	π
f(n)(x) = cos( (n−1)*		+ x) (działa − podstawiałem, dowód):
	2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sinx%29%27%27%27%27%27%27%27%27%3Dcos%28+%288-1%29*pi%2F2+%2B+x%29 czyli:

	π		π
f(n−1)(x) = cos( (n−2) *		+ x ); f(n−1)(0) = cos( (n−2) *		)
	2		2

wyznaczam reszte (jej licznik):

	π		π
f(n)(x) = cos( (n−1)*		+ x); f(n)(c) = cos( (n−1)*		+ c)
	2		2

ogólna postać Maclaurina z resztą:

	f'(0)		f''(0)
f(x) = f(0) +		x +		x2 + ... + f(n−1)(0) + Rn
	1!		2!

podstawiając:

	x3		π   cos( (n−2) * )   2
sin(x) = 0 + x −		+ ... +		xn−1 + Rn
	3!		(n−1)!

gdzie:

	π   cos( (n−1)* + c)   2
Rn =		*xn
	n!

dobrze?

asdf: ?

asdf: .

asdf: .

asdf: :(

asdf: .

Godzio: Wygląda dobrze

asdf: Mam też takie zadanie: oblicz przybliżoną wartość ln0.1 mam funkcję: y = ln(1+x) za x daje −0.1 z wielomianu Maclaurina otrzymuję funkcję:

	x2		x3		x4		(−1)n(n−2)!
ln(1+x) = x−		+		−		+ ... +		xn−1 + Rn
	2		3		4		n−1)!

do szczegółów...wyznaczyłem, że n−ta pochodna ma postać:

	(−1)n+1*(n−1)!
f(n)(x) =
	(1+x)n

	(−1)n+1*(n−1)!
f(n)(c) =
	(1+c)n

	f(n)(c)
Rn(x) =		xn, więc:
	n!

	(−1)n+1*(n−1)!   (1+c)n
Rn(x) =		* xn, przenosząć mianownik do mianownika
	n!

licznika:

	(−1)n+1*(n−1)!
Rn(x) =		} * xn
	n!(1+c)n

n!= n(n−1)!

	(−1)n+1
Rn(x) =		* xn
	n*(1+c)n

Na początku napisałem, że moje x = −0.1, czyli mam:

	(−1)n+1
Rn(−0.1) =		* (−0.1)n
	n*(1+c)n

	−1		(−1)n
(−0.1)n = (		)n =		, stosując to:
	10		10n

	(−1)n   (−1)n+1 *   10n
Rn(−0.1) =
	n*(1+c)n

10ⁿ wskoczy do mianownika i (−1)ⁿ⁺¹*(−1)ⁿ = (−1)ⁿ⁺²

	(−1)n+1 * (−1)n
Rn(−0.1) =
	10n * n*(1+c)n

	(−1)n+2
Rn(−0.1) =
	10n * n*(1+c)n

i teraz pytanie..jak oszacować tutaj resztę?

(−1)n+2		1
	<
10n * n*(1+c)n		10n * n*(1+c)n

i dalej nie wiem jak c ∊ ( (−0.1);0) jak coś − tak mi się zdaje..

asdf: Nie przybliżoną wartość ln0.1 tylko ln 0.9

asdf: w odpowiedzi mam n = 4, ale nie wiem czemu tak jest

Godzio: Ale co n = 4 ?

Godzio: Im więcej wyrazów weźmiesz tym lepsze przybliżenie dostaniesz. Nie masz np. podanego błędu w jakim ma się znaleźć reszta ?

asdf: sorry, moze nie napisałem: mam oszacować ln 0.9 z dokładnością do 0.0001. W odpowiedzi wyszlo, ze rownosc jest spelniona (do oszacowania reszty) dla n = 4, tak jak masz, np. oszacowac liczbe e:

3		1
	<		to n jest spelnione dla n = 7 albo 6 jakos tak..tutaj podobnie.
n!		1000

Godzio: No to dobra, resztę mamy:

	(−1)n + 1		1		1		1		1
|		xn| ≤		*		≤		*
	n!(1 + c)n		n!(1 + c)n		1000		n!		1000

dla n = 4 jest to już mniejsze od 10⁻⁴

asdf: ale przecież c < 0 czyli taka dziwna ta nierownosć

asdf: i tam nie ma silni, chyba, ze zle patrzę.

asdf: z resztą − tam chyba mma błąd: (−1)ⁿ⁺¹ * (−1)ⁿ = (−1)²ⁿ⁺¹.

(−1)2n+1		1
	<
10n(1+c)n		10n(1+c)n

no..i tu sie konczy moja przygoda z myśleniem

asdf: :(

Godzio:

	1
Szczegóły podstaw sobie c= −0,1 i będziesz miał 0.9n i dla n = 4 jest to około
	78000

więc ≤ 10⁻⁴

Godzio: A już widzę, bo patrzyłem tak dokładnie, daj mi moment

Godzio: Już wiem, to jest ta funkcja, w której do szacowania nie opłaca się brać reszty Lagrange'a. Weź resztę Peano (chyba tak się zwał) i kombinuj wtedy

asdf: Kurde Nie znam tej reszty Podaruję sobie ten przykład Dzięki za pomoc

asdf: chyba mam rozwiązanie:

	(−1)n+1 * (−0.1)n		(−1)n+1*(−1)n
|		| = |		=
	n*(1+c)n		10n*n(1+c)n

	(−1)2n+1		1
|		| =
	10n*n*(1+c)n		10n*n*(1+c)n

i teraz rozkładam:

1		1
	*
10n * n		(1+c)n

c∊ (−(0.1);0) czyli:

	1
−		< c < 0 // + 1
	10

9
	< 1+c < 1 // odwracam:
10

10		1
	>		> 1 // porządkuję od najmniejszej do największej (teraz jest na odwrót)
9		1+c

	1		10
1 < (		<		// podnoszę do n−tej, znaki pozostają te same
	1+c		9

	1n		10n
1n <		<
	(1+c)n		9n

i tera z mam oszacowane, że:

1n		10n
	<		, czyli wracając do równania:
(1+c)n		9n

1		1n		1		10n
	*		<		*
10n*n		(1+c)n		10n*n		9n

czyli mam ten błąd..i teraz porównuję maksymalny błąd z dokładnością:

1		10n		1
	*		<
10n*n		9n		10000

1		1
	<
n * 9n		10000

n*9ⁿ > 10000 dla każdego n ≥ 4 będę mieć dokładność do 10⁻⁴, należy więc dodać 3 składniki. Dobrze?

asdf: bump111jedenjeden