trójkąt wpisany w okrąg Marta: Trójkąt ABC wpisany jest w okrąg o środku O. Oblicz miarę kąta AOB jeżeli a) |<BAC|=80 stopni |<AOC|=140 stopni b) |<ABC|=50 stopni i |AB|=|BC| c) trójkąt jest równoramienny i dwusieczna kąta przy podstawie AB tworzy z przeciwległym bokiem kąt o mierze 60 stopni

gosia: Rysunek trochę prowizoryczny ale widać co trzeba a) ∡BAC=80 ∡AOC=140 jest to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ∡ABC Zasada jest taka że środkowy ma 2 razy więcej niż wpisany zatem ∡ABC=70 Suma wszystkim kątów w trójkącie jest równa 180: ∡ABC+∡BAC+∡BCA=180 70+80+∡BCA=180 ∡BCA=30 ∡BCA jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co nasz szukany kąt ∡AOB 2x∡BCA=∡AOB 2x30=60 jest to miara ∡AOB

pigor: ...., z tw. o kątach wpisanych i środkowych okręgu a) |∡AOB|= 360^o−140^o−2*80^o= 360^o−300^o= 60^o , b) 2|∡AOB|+2*50^o= 360^o ⇔ 2|∡AOB|= 260^o ⇒ ∡AOB|=130^o , c) niech α − miara kąta dwusiecznej z AB, to z warunków zadania : α+2α+60^o=180^o ⇒ 3α= 120^o ⇒ α=40^o , więc np |∡AOB=| 2|∡ACB|= 2(6^o−α)= 2(60^o−40^o)= 40^o . ...

gosia: b) ∡ABC=50 |AB|=|BC| skoro trójkąt jest równoramienny to kąty ∡BAC i ∡BCA mają taką samą miarę ∡ABC+∡BAC+∡BCA=180 50+∡BAC+∡BCA=180 50+2x∡BAC=180 2x∡BAC=130 ∡BAC=65 kąt ∡AOB jest środkowy oparty na łuku ∡BCA ∡AOB=2x∡BCA=130

Martaa: co do podpunktu C to skąd wiadomo ze <ACB=(60−α) oraz α+2α+60=180 skąd to 2α