proszę o pomoc : znajdź rozwiązanie : 2^x + 1 = 3^y ankaaa: proszę o pomoc : znajdź rozwiązanie : 2^x + 1 = 3^y

Vax: W liczbach naturalnych rozumiem?

ankaaa: tak

ankaaa: wiem że rozwiązanie to x= 1 y=1 oraz x=3 y=2 . ale jak do tego dojść próbowałam robić rysunek itd, ale nic z tego.

Vax: Jeżeli x=1 to y=1, załóżmy, że x ≥ 2, wtedy patrząc na dane równanie modulo 4 dostajemy: 1 = 3^y = (−1)^y (mod 4) skąd y jest parzyste, tj y = 2y' dla pewnego całkowitego dodatniego y', czyli: 2^x = (3^y'−1)(3^y'+1) Oba nawiasy muszą być pewnymi potęgami 2, ale NWD(3^y'−1 , 3^y'+1) = NWD(3^y'−1 , 3^y'+1−(3^y'−1)) = NWD(3^y'−1 , 2), co jest równe 1 albo 2, oczywiście 3^y'−1 < 3^y'+1, więc może być jedynie: 3^y'−1 = 1 albo 3^y'−1 = 2, w 1 przypadku nie dostajemy rozwiązań, a 2 daje nam y'=1, czyli y=2, co nam daje x=3, więc jedyne pary to (x,y) = (1,1) , (3,2).