pierwsze zombi: Dane są liczby pierwsze p,q. Ponadto q³−1 = 0 (mod p) oraz p−1 = 0 (mod q). Wykaż, że p=q²+q+1. Z pierwszego warunku p−1 = 0 (mod q) p = 1 (mod q) Wiedząc, że p,q>1 Otrzymujemy, że p>q ponadto skoro p przystaje do 1 mod q, dowiadujemy się, że q=2. Możliowść p=2 q=1 odrzucamy bo 1 nie jest liczbą pierwszą. Z drugiego warunku q³−1 = 0 (mod p) (q−1)(q²+q+1) = 0 (mod p) Skoro q=2 to 1*7 = 0 mod p stąd p=7=2²+2+1=q²+q+1 Może być?

Godzio: p = 1 (mod q) ⇒ q = 2, nie za bardzo wiem skąd to wziąłeś

Basia: p = 1 (mod q) czyli p = k*q+1 z tego nie wynika, że q=2 może być np. q=11 i p=23 dalej to się nie będzie zgadzało, ale nie rozumiem z czego wnioskujesz, że q=2 ?

zombi: Przepraszam nagiąłem, bo nie znalazłem przypadku innego przepraszam. Będę myślał dalej

zombi: No to jeszcze inaczej wiadomo, że p=t*q+1 oraz p>q to wiemy z pierwszego warunku Z drugiego warunku (q−1)(q²+q+1) = (mod p) wiec q−1 = 0 mod p lub q²+q+1=0 mod p q−1 = 0 mod p odpada ponieważ, q−1<p zatem nie może być wielkrotnościa p, stad q²+q+1 = 0 mod p wiec q²+q+1=k*p i p=t*q+1 q²+q+1=kt*q+k t=q+1 i k=1 ⇒ p=q²+q+1 Tylko nie wiem jak zaprzeczyć istnieniu innych takich t,k

Basia: wcale nie wiemy z pierwszego warunku, że p>q q³ = m*p+1 q=3 q³ = 27 27 = 13*2 + 1 p = 2 m=13 albo q = 4 q³ = 64 q³ = 21*3 + 1 p = 3 m = 21

zombi: no ale jesli mam wykazać, ze p=q²+q+1 to raczej na pewno musi tak byc

zombi: Pozatym 2−1≠0 mod 3 3−1≠0 mod 4 p musi być większe, bo p−1 = 0 mod q zatem p−1=k*q gdzie k jest co namniej 1

Basia: to prawda, ale to nie wynika z pierwszego tylko z (1) i (2) w zapisach musisz być ścisły

zombi: Kurcze tylko jak już mam ten moment q²+q+1=kt*q+k czy k musi być =1?

zombi: Bo jeśli to jest jedyna opcja to mam p=q²+q+1, tylko nie jestem pewien, tego k

Basia: a czy przypadkiem ktoś nie udowodnił, że jeżeli q jest pierwsza to q²+q+1 też ? to by załatwiało sprawę, ale nie znam takiego twierdzenia no to może tak q² +q(1−kt) + 1−k = 0 musi mieć rozwiązanie gdyby się dało wykazać, że dokładnie jedno byłoby dobrze, bo musiałoby być Δ=(1−kt)² − 4(1−k) = 0 1 − 2kt + k²t² − 4 + 4k =0 k²t² − 2kt + 4k−3 = 0 Δ_t = 4k² − 4k²(4k−3) = 16k² − 16k³ = 16k²(1−k)≥ 0 ⇔ 1−k≥0 ⇔ k=1 ale dlaczego nie może mieć dwóch rozwiązań ? nie mogę jakoś tego uzasadnić

ICSP: niestety to że q jest liczba pierwszą nie oznacza wcale ze q² + q + 1 jest liczba pierwszą. Wystarczy przyjąć q = 7 i dostajemy : q² + q + 1 = 49 + 7 + 1 = 57 a jak wiemy 3 | 57

zombi: no dlatego napisałem, ze q²+q+1=k*p, ale dziwnie skoro coś takiego trzeba udowodnić. Trzeba coś jeszcze z tych założeń wywnioskować.

Basia: a już wiem dlaczego jedno i tylko jedno gdyby były dwa to

	1−k
q1*q2 =		= 1−k ≤ 0
	1

a wtedy albo q₁ albo q₂ nie byłoby liczbą pierwszą proste się to okazało

zombi: No tak, no tak, kurczę... Chwała ci za to Basiu! Jeśli tylko k=1 spełnia to mamy tezę i finito. Dzięki wielkie, połączyliśmy siły jak PowerRangers