Procenty Paula: Kapitał firmy w koku 2000 wynosił 100000zł. Po pierwszym roku powiększył się o 5 %, a po drugim roku wzrósł o 35 %. o ile średnio procent rocznie wzrastał kapitał firmy w ciągu tych dwóch lat? Uzupełnij brakujące elementy rozwiązania: ROZWIĄZANIE: Na początku kapitał firmy wynosił:.......................zł Po pierwszym roku kapitał firmy wynosił: 105% *................................zł Po drugim roku kapitał firmy wynosił: 135%(105%*..........)zł= 1,35*(1.05*100000)zł= 141750 zł Liczby 1.05 i 1.35 są współczynnikami zysku w kolejnych dwóch latach. Niech q oznacza sredni roczny współczynnik zysku kapitału w ciągu tych dwóch lat. W atkim razie: q*(q*100000)zł = 141750 zł. Mamy więc q² = 1,4175, skąd q≈1,1906. wynika stąd, że średnio na rok kapitał przyrastał o: 100* ( 1,1906−1)%= 100*.................%= 19,06 % UWAGA: Gdybyśmy w tym przypadku przyjęli, że średni przyrost jest średnią arytmetyczną danych 5% i 35 % tzn. 20 % to po dwóch latach otrzymalibyśmy kwtoę: 1,2(1,2*100000)zł=144000zł, czyli więcej niż było w rzeczywistości ( 141750zł) Odpowiedź:................................................ Analiza rozwiązania: k+ kapitał początkowy A= 1,05 współczynnik zysku 2000/2001 B= 1.35 współczynnik zysku 2001/2002 q= średni współczynnik zysku 2000/2002 p= procentowy średni roczny przyrost kapitału Średni współczynnik przyrostu kapitału w pierwszym i w drugim roku powinien być taki sam : q*q*k, więc : q² = A*B. Zatem q jest średnią geometryczną danych A i B: q= √A*B oraz, ze : p = 100(q−1)

Bogdan: Dobrze rozumujesz. Krótko: Kapitał po dwóch latach = 100000*1,05*1,35 = 141750. Mamy tu do czynienia z ciągiem geometrycznym, w którym q > 0 oraz: a₁ = 100000, a₃ = a₁q² = 141750 ⇒ 100000*q² = 141750 ⇒ q² = 1,4175 ⇒ q ≈ 1,1906, czyli każdego roku kapitał wzrastał o około 19,06% w stosunku do roku poprzedniego.