zadania zadanie: ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, ...., 30} wybieramy jednoczesnie dwie liczby. na ile wszystkich roznych sposobow mozemy to zrobic tak aby otrzymac dwie liczby takie ze ich a) roznica bedzie liczba podzielna przez 3 b) suma ................................... c)roznica ich kwdratow .............................. d) suma ich kwadratow ......................... ?

Mila: No i nikt Ci nie zrobił wczoraj? a) Podziel zbiór liczb na trzy podzbiory: 1) liczby podzielne przez 3 2) liczby podzielne przez 3 z resztą 1 ( liczby postaci 3k+1) 3) liczby podzielne przez 3 z resztą 2 ( liczby postaci 3k+2) b) zbadaj jaką resztę przy dzieleniu przez 3 mają kwadraty liczb postaci:3k+1 i 3k+2

zadanie: w kazdym z tych podzbiorow jest 10 elementow a i b wiem jak zrobic ale c i d nie?

Mila: Liczyłam na to, że zapiszesz te zbiory tutaj. 1) Jeśli wybierzemy 2 liczby ze zbioru {3,6,9,12,15,18,21,24,...30}to różnica kwadratów będzie podzielna przez 3 (3k)²−(3m)²=9k²−9m²=3*(3k²−3m²) dzieli się przez 3 możesz tak wybrać 2)jeśli wybierzemy 2 liczby ze zbioru {1,4,7,...28} to: (3k+1)²−(3m+1)²=9k²+6k+1−(9m²+6m+1)=9k²+6k+1−9m²−6m−1= =9k²+6k−9m²−6m=3*(3k²+2k−3m²−2m) dzieli się przez 3 możesz tak wybrać 3) jeśli wybierzemy 2 liczby ze zbioru {2,5,.......29} (3k+2)²−(3m+2)²=... wykonaj i wyciągnij wniosek Podobnie badaj sumę kwadratów

zadanie: (3k+2)²−(3m+2)²=3(3k²+4k−3m²−4m) dzieli sie przez 3

	30 3
czyli		?

Mila: Jeszcze może być tak: (3k+1)²−(3m+2)²=9k²+6k+1−9m²−12m−4=9k²+6k−9m²−12m −3=3(3k²k−3m²−4m−1)

	10 2		20 2
|C|=		+

↑ wybrane dwie liczby podzielne przez 3

	20 2
		− wybrane dwie liczby podzielne przez 3 z resztą 1

albo z resztą 2, albo jedna z resztą 1 a druga z resztą 2.

zadanie: a jak by bylo ze zbioru {1, 2, ..., 3n+1} to jak wtedy to robic?

zadanie: ?

zadanie: ?

zadanie: jak to bedzie?

Mila: Podobnie, obliczasz ile jest w tym zbiorze liczb podzielnych przez 3 ( jest ich n) itd , a następnie wybierasz jak Ci pokazałam wyżej.

zadanie: liczb podzielnych przez 3 jest n liczb ktore przy dzieleniu przez 3 daja reszte 1 jest n+1 liczb ktore przy dzieleniu przez 3 daja reszte 2 jest n+2 dobrze? ale jak sa te n to nie wiem jak to powybierac

zadanie: ?

Mila:

n 2		n*(n−1)
	=		zapamiętaj.
		2

przez analogię:

n+1 2		(n+1)*n
	=
		2

n+2 2		(n+2)(n+1)
	=
		2

Po otrzymaniu rozwiązania, na ogół forumowicze piszą: "dziękuje", Ty o tym zapominasz. Dlatego często nikt nie zwraca uwagi na Twoje zadania.

zadanie: dziekuje

zadanie: a) roznica bedzie liczba podzielna przez 3 tak jest wtedy kiedy liczby daja rowne reszty przy dzieleniu przez 3

	n 2		n+1 2		n+2 2		n 2		n+1 2
czyli		+		+		dobrze? bo w odp. jest 2*		+

zadanie: jak to wybierac? n−k n+1−k−1=n−k itd. ?

zadanie: ?

zadanie: a tutaj jak bedzie?

Mila: Do komentarza 22:09 (najlepiej rozważ konkretny zbiór i uogólnij) Nie sprawdzałam Twoich obliczeń, ale widzę,że trzeba to poprawić: R₀−masz n liczb podzielnych przez 3 R₁− masz n+1 liczb podzielnych przez 3 z resztą 1 R₂ − masz n liczb podzielnych przez 3 z resztą 2 spr. n+n+1+n=3n+1 Twoje rozumowanie z 8:23 prawidłowe, popraw z uwzględnieniem liczebności podzbiorów. Wyjdzie dobrze.

zadanie: dziekuje

zadanie: a jeszcze zapytam a nie mogloby byc np. tak ze liczb podzielnych przez 3 jest n+1 a tamtych jest po n? bo jak np. zamiast 3n+1 byloby 3n+2 to moge napisac ze liczb podzielnych przez 3 jest n, liczb podzielnych przez 3 z reszta 1 jest n+1 (lub n), liczb podzielnych przez 3 z reszta 2 jest n+1 (lub n+2) czy tak nie moze byc? w obu przypadkach wyjdzie 3n+2

Mila:

Mila: 1) 3n+1 Niech n=2, wtedy mamy:3*2+1=7 liczb 1,2,3,4,5,6,7 R₀ {3,6} n R₁ {1,4,7} n+1 R₂ {2,5} n 2) 3n+2 niech n=2, wtedy mamy :3*2+2=8 1,2,3,4,5,6,7,8 R₀ {3,6} n R₁ {1,4,7} n+1 R₂ {2,5,8} n+1

zadanie: dziekuje

Mila: Mam nadzieję, że wszystko już rozjaśniło się.