Badanie monotoniczności kosmita: Na podstawie definicji zbadaj monotoniczność funkcji f(x)=−x²+6x w (−nieskonczonosci,3) Wcześniej uczono mnie ,że np. taki przykład 4−x² w X∊R_ Rozwiązuje się tak : x1<x2⇒x1²>x2²⇒ −x1²<−x2²⇒ −x1²+4<−x2²+4 Funkcja ta jest malejąca dla x∊R_ Jak zrobić taki przykład jak wyżej ? Na dwa przedziały ? Jak z tego potem zadecydować czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.

Mateusz: Pochodne liczyc umiemy? Jesli tak to jest odpowiednie twierdzenie poszukaj

kosmita: Nie jeszcze nie miałem

vitek1980: badamy znak różnicy f(x₁)−f(x₂) przy założeniu, że x₁<x₂ i x₁,x₂<3 zatem f(x₁)−f(x₂) = −x₁²+6x₁−(−x₂²+6x₂) = −x₁²+6x₁+x₂²−6x₂ = −(x₁−x₂)(x₁+x₂)+6(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(6−(x₁+x₂)) < 0, bo x₁−x₂<0 a x₁+x₂<6

vitek1980: poza tym wyraźnie napisał, że trzeba zbadać z definicji monotoniczności a nie z pochodnej

vitek1980: aha czyli funkcja jest rosnąca bo f(x₁)<f(x₂)

vitek1980: w przedziale (−∞;3)

kosmita: a nie da się tego zrobić bez różnicy ? W sensie tak jak jak wyżej ? Ze zmianą znaków i odwracaniem ? Nie ukrywam,że bardziej rozumiem tą pierwszą metodę gdzie stosuje się x1<x2 f(x1)<f(x2)

vitek1980: no ale to jest to samo x₁<x₂ ⇔ x₁−x₂<0 jak przeniesiesz wszystko na lewo

kosmita: Wiem tylko ,że jakoś tak gubię się...

vitek1980: no musisz przekształcać wyrażenie, żeby otrzymać x₁−x₂ przemnożone przez inne, jak np. w tym przykładzie. Wtedy szacujesz znaki wyrażeń w nawiasach no i znak iloczynu wyjdzie

kosmita: Bo jak mam robić tą metodą żeby nie przenosić na lewo to mam robić to dla dwóch przedziałów ? Zacząłem robić dla pierwszego czyli w (−∞,0) x1<x2⇒x1>x2⇒ −x1²+6x<−x2²+6x Funkcja ta jest rosnąca w (0,3) x1<x2⇒x1>x2⇒ −x1²+6x>−x2²+6x I tu mi wyszło ,że jest malejaca... Bo ja te znaki odwracam tak,ponieważ mam pierw przedział z liczbami ujemnymi potem odwracam jjeszcze raz bo mam minus przed x.W tym drugim przedziale odwróciłem tylko raz bo mam tylko − przy x a liczby z przedziału są dodatnie więc nie trzeba.Co tutaj jest źle,naprawdę chciałbym to zrozumieć tą 1 metodą.

kosmita: Dobrze to w takim razie jak mam oszacować te wyniki w nawiasach ? Skąd mam wiedzieć czy w 1 nawiasie będzie wynik dodatni czy ujemny?

vitek1980: pierwszy nawias zawiera x₁−x₂. To ma znak (−) z założenia, że x₁<x₂ drugi nawias ma 6−(x₁+x₂) ponieważ x₁<3 i x₂<3 więc x₁+x₂<6 czyli nawias ma znak (+) potem (−)*(+)<0 czyli f(x₁)−f(x₂)<0 a stąd f(x₁)<f(x₂) czyli rosnąca

kosmita: a dlaczego wybraliśmy takie założenie ? x1,x2<3 a co z od −∞ ?

vitek1980: no jak x∊(−∞;3) to x<3 co nie?

kosmita: a nie czyli jak x1,x2 do wszystko mniejsze od 3 rozumiem

kosmita: ok,ok rozumiem a jeśli miałbym taki przedział x∊(2,+∞)