calka niewymierna slaw: Witam! Mecze sie z taka oto calka:

	2dx
∫
	x3(√x2+1)

pomnożyłem ja przez x/x i przez podstawienie dalem t² = x² + 1 i wyprowadzilem ja do postaci:

	dt
2∫		, i dalej rozklad na ulamki proste:
	(t2−1)2

A		B		C		D
	+		+		+
(x−1)(x2−1)		(x+1)(x2−1)		(x−1)(x2−1)		(x+1)(x2−1)

i nie moge tego policzyc, uklad nieoznaczony caly czas wychodzi. Jakies rady?

slaw: czy ma ktos pomysl jakis?

slaw: pomozecie ?

slaw: tam przy rozkladzie abcd oczywiscie zamiast x ma byc t, jakos przez nieuwage napisalem x. Co nie zmienia faktu, ze nie idzie tego obliczyc..

huehuehue: skoro zrobiles podstawienie t czego piszesz x przy rozkladzie na ulamki moze tak

1		A		B		C		D
	=		+		+		+
(t2−1)(t2−1)		x+1		x−1		x+1		x−1

(t²−1)=(t−1)(t+1)

slaw: huehuehue, napisalem ze x zamiast t wzielo sie przez nieuwage. Zrobilem tak jak Ty piszesz,natomiast wtedy uklad rownan wychodzi nieoznaczony.

slaw: to co, pomoze ktos?

slaw: hmm?

slaw: pomoze ktos?

Mila: Może być inna metoda?

slaw: jezeli ja skumam, to jasne

Mila:

	1		1		−1
[x≠0,		=t; x=		; dx=		dt]
	x		t		t2

	t3dt		t2
2∫		=−2∫		dt= korzystam z wzoru ( możesz policzyć przez
	−t2√(1/t)2+1		√1+t2

części)

	t		1
=−2(		√t2+1−		ln|t+√t2+1|)=
	2		2

	1		1
=−(		√1/x2+1−ln|		+√1/x2+1)=
	x		x

	1+x2		1+√1+x2
=−(		−ln|		})=
	x2		x

	√1+x2
=ln|1+√x2+1|−ln|x|−		+C
	x2

slaw: dziekuje. Zaraz bede rozgryzał. A jeszcze wracajac do metody rozkladu na ulamki proste. Tamta metoda tez sie jakos napewno da zrobic, bo robilismy na cwiczeniach. Myslalem natomiast, ze to bedzie proste i na cwiczeniach skupilem sie na nastepnym zadaniu a tu patrze w domu i zonk.

Mila: Na pewno da się, nie analizowałam czy postac jest dobra. Popatrzę. zajrzyj tu jeszcze .

slaw: jasne czekam i probouje sie zajac Tym co powyzej sposobem

Mila: rozkład na ułamki proste:

	A		B		C
U{2}{(t−1)2*(t+1)2=		+		+		+U{D}{(t+1)2
	t−1		(t−1)2		t+1

licznik prawej strony=U{A(t−1)(t+1)²+ +B*(t+1)²+C*(t+1))(t−1)²+D*(t−1)² Można wymnożyć i uporządkować, ale to dużo pisania i dużo czasu zajmuje. Inny sposób: 1) przyjmuję t=1 i porównuję liczniki

	1
P=A*0+B*4+c*0+D*0=2⇔B=
	2

2) przyjmuję t=−1

	1
P=A*0+B*0+C*0+D*(−1−1)2=2⇔D=
	2

3) przyjmuję t=0

	1		1
P=−A+B+C+D=2⇔−A+		+C+		=2⇔−A+C=1
	2		2

4) przyjmuję t=2 ( nie ma więcej miejsc zerowych i bardziej wygodnych liczb) A*(2−1)(2+1)62+B(2+1)²+C(2+1)*(2−1)²+D(2−1)²=2⇔3A+C=−1 (3) i (4)

	1		1
A=−		i C=
	2		2

Teraz policz całkę, wszystko wychodzi pięknie,w razie kłopotów przepiszę.

slaw: czyli wniosek z tego taki, ze rozkladajac takie calki na ulamki proste, musimy kombinowac z mianownikiem tak? Ze nie koniecznie rozladamy mianownik na najprostsze czynniki, tyko musimy komibnowac tak? Ale to chyba jedna z nieliznych takich calek prawda? Normalnie zdarzaja sie "normalniejsze" , prawda?

Mila: Są pewne zasady, rozkładamy mianownik na najprostsze iloczyny. Poczytaj w Skoczylasie, albo Krysickim. To jest całka niewymierna, trudniejsza.