mm: jakie największe pole może mieć trójkąt prostokatny wpisany w okrag o promieniu równym 3

Dariusz: Nazwijmy boki trojkata a,b,c, ponadto niech a+b = S, Skorzystajmy teraz z wlasnosci trojkata prostokatnego; Srodek opisanego okregu na trojkacie prostokatnym lezy na przeciwprostokatnej. Korzystajac z tej wlasnosci z drugiej strony otrzymujemy, ze taki srodek lezy na srodku przeciwprostokatnej (wynika z faktu, ze promienie tego samego okregu sa sobie rowne) Zatem przeciwprostokatna wynosi 6, Mamy wiec a²+b²=36, Rozwazmy nastepujacy lemat: Jezeli mamy pewne dwie liczby dodatnie a,b o okreslonej sumie, to ich iloczyn jest najwiekszy gdy a=b. Dowod: Niech z bedzie pewna liczba taka, ze a+b=z, Zatem a=z-b Rozwazmy funkcje f(x)= (z-b)b = zb- b² ktorej pochodna wynosi z-2b, przyrownujac pochodna do 0 dostajemy maksimum naszej funkcji zatem a=b Poniewaz pole trojkata prostokatnego = a*b, oraz jest ono najwieksze gdy a=b pozostalo obliczyc a; a²+a² = 36 czyli 2a²=36, a² =18, P=1/2*a*a , P=9, zatem maksimum wynosi 9

maturzysta: mata♥

Zajadźźźź: Zajądzzz

pigor: ..., jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu równym 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., lub np.tak: a²+b²=(3+3)²=6²=36, więc z jednej z nierówności między średnimi, pole Δ S=¹₂ab ≤ ¹₂*¹₂(a²+b²)= ¹₄*36= 9= S_max.. .