Wielomiany Michał: Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x)= x²⁰¹³ − 2x²⁰¹² + 2x²⁰¹¹ − 1 przez wielomian G(x)=x³−x . Jak zabrać się za tego typu zadanie ?

Godzio: W(x) = H(x)G(x) + R(x) = H(x)x(x − 1)(x + 1) + ax² + bx + c W(1) = 1 − 2 + 2 − 1 = a + b + c W(0) = − 1 = c W(−1) = −1 − 2 − 2 = a − b + c Pozostaje CI rozwiązać układ (o ile w dodawaniu się nie pomyliłem ) : a + b = 1 a − b = − 4

lol: Co oznaczyles jako H(x)? I z czego wynika ze W(1) = 1 −2 + 2 − 1 = a+b+c ?

Michał: co oznacza H(x) ? , G(x) rozłożyłeś do postaci iloczynowej , a R(x) to domyślam się że oznacza resztę , za którą podstawiłeś ax² + bx + c . To pierwsze to jakiś wzór jest , do którego można w każdym zadaniu podstawić ?

Godzio: H(x) to wielomian, który otrzymamy po podzieleniu, nie znamy go, W(x) dzielimy przez G(x) i otrzymujemy H(x) i jakąś resztę R(x), więc proces odwrotny, chcemy otrzymać W(x) to bierzemy to przez co dzieliliśmy, mnożymy przez to co otrzymaliśmy i dodajemy resztę, stąd: W(x) = H(x) * G(x) + R(x) Reszta jest zawsze co najwyżej stopnia o jeden mniejszego niż wielomian przez który dzielimy

Godzio: W(x) = H(x)x(x − 1)(x + 1) + ax² + bx + c W(1) =H(1) * 1 * (1 − 1)(1 + 1) + a * 1² + b * 1 + c = a + b + c, ale z drugiej strony wiemy, że W(1) = 1²⁰¹³ − 2 * 1²⁰¹² + 2 * 1²⁰¹¹ − 1 = ...

lol: Dzieki, rozumiem

Michał: okey. mamy trzy potencjalne pierwiastki wielomianu , x=0 lub x=1 lub x=−1 i teraz podstawiasz je pod wielomian W(x) zamiast x−sa ?

Godzio: To nie są potencjalne pierwiastki, ani nic wymyślonego z kosmosu To są pierwiastki wielomianu G(x), bo to on może wyzerować nasz niewiadomy wielomian H(x)

Michał: jeszcze tylko trochę cierpliwości Mianowicie , jak wychodzi ci , że c = −1 , możesz to rozpisać , bo mi nie wychodzi nie wiem czemu i jeszcze jedno pytanie , czy zawsze jedna literka będzie wychodzić , żeby móc obliczyć resztę z układu tak jak tutaj ?

Michał: W(0)=H(0)*0*(0−1)*(0+1)+0+0+c=c co robię źle ? tylko tego już nie rozumiem w tym zadaniu

lol: W(0)= 0²⁰¹³ −2*0²⁰¹² + 2*0²⁰¹¹ −1 = −1

Godzio: Chwilkę mnie nie było, to co napisał lol jest jasne ?

Michał: czyli podstawia się pod W(x)= x²⁰¹³ − 2x²⁰¹² + 2x²⁰¹¹ − 1 , a nie pod W(x) = H(x)x(x − 1)(x + 1) + ax2 + bx + c ?

Michał: sory ale już nie wie pod co mam podstawiać ..

Michał: ok już rozumiem liczy podstawia się jednocześnie do tych dwóch równań , w pierwszym wychodzi a+b+c=0 w drugim a−b+c=0 w trzecim właśnie to c=−1 dzięki wielkie za pomoc

Godzio:

pigor: ..., w drugim wychodzi a−b+c= −6 . ...

Michał: tak masz rację źle przepisałem z kartki pigor , ale to przez przypadek , wyszło mi elegancko a=−2 , b=3,c=−1 , i reszta R(x) = −2x² + 3x −1 ,

pigor: , a więc szukasz R= ax²+bx+x= ? i masz układ równań : W(0)= R= a*0²+0*x+c i W(1)= a*1²+b*1+c i W(−1)= a*(−1)²+b*(−1)+c ⇔ ⇔ −1= c i 0= a+b+c i −6= a−b+c . ...

Michał: wiem , że nie jest to może trudne zadanie , ale ja dopiero wchodzę w temat i musiałem to zrozumieć łopatologicznie