. nelson: Proszę państwa otóż dany jest ciąg geometryczny a_n, gdy dodamy do drugiej wartości tego ciągu liczbę 8 otrzymamy ciąg arytmetyczny, gdy zaś dodamy do trzeciej wartości nowopowstałego ciągu arytmetycznego liczbę 64 to na nowo otrzymamy ciąg geometryczny. Za wszelką okazałą mi pomoc z góry dziękuję.

♊: Powinno być jeszcze pytanie jakie to są liczby czy coś w tym stylu Jest ciąg a_n o początkowych wyrazach a_n1 → a₁, a₂, a₃ Teraz pierwsze przekształcenie a_n2 → a₁, a₂ + 8, a₃ Drugie przekształcenie: a_n3 → a₁, a₂+8, a₃+64 a_n1 i a_n3 są ciągami arytmetycznymi więc jak mają się do siebie ich kolejne wyrazy? a_n2 jest ciągiem geometrycznym − jak mają się do siebie jego kolejne wyrazy? Czyli po prostu znajdź "r" i "d". Wiesz teraz o co chodzi, czy tłumaczyć dalej?

nelson: wiem co masz na myśli, lecz nie mam pojęcia jak mógłbym w tym przypadku obliczyć r czy też d

♊: Errata − W moim poprzednim poście a_n1 i a_n3 to oczywiście ciągi geometryczne, a a_n2 to ciąg arytmetyczny. Źle wyjasniłem o co mi chodzi (taki skrót myslowy). Korzystając z informacji jak się oblicza "r" i "d" masz wyliczyć te wyrazy. Wyjdą 3 równania i masz 3 niewiadome więc obliczyć się da (zacznij od a₁ − będzie chyba najprościej).

Eta: Rozwiążę to zad (1) : a₁, a₁ *q , a₁*q² −−− tworzą ciag geom. (2) :a₁, a₁*q +8 , a₁*q² −−− tworza ciąg arytm. (3): a₁, a₁*q +8, a₁*q² +64 −−− tworza ciag geom. z def. ciągu arytm. w (2) mamy: ( celowo nie piszę a₁ tylko "a" bo mi wygodniej ) (**) 2( aq +8) = a +aq i z def. ciagu geom. (3) mamy: (***) (aq +8)² = a ( aq² + 64) mamy zatem dwa równania ( **) i (***) i dwie niewiadome : "a" i "q" podpowiem jak rozwiazac ten układ równań: (**) 2aq +16 = a +aq² (***) a²q² +16aq +64 = a²q² +64a z drugiego równania mamy: (***) 16aq +64 = 64a /: 16 => (***) aq = 4a −4 podstawiamy do równania pierwszego (**) otrzymując: (**) 2( 4a −4) +16 = a + ¹_a*a²q² ( tu taki "chwyt" ) zatem: 8a − 8 +16 = a +¹_a*( 4a −4)² (**) ; 8a +8 = a + 16a − 32 +¹⁶_a /*a , bo a ≠0 (**) : 8a² +8a = 17a² −32a +16 (**) : 9a² −40a +16 =0 ...... policz teraz deltę i wyznacz "a" następnie z ( ***) wyznacz "q" Będą dwa takie ciągi, i to wszystko

Eta: I co "bliźniak " na to?

Eta: podam odp 1) ciąg: 3, 12, 36 2) ciąg: ⁴₉ , −²⁰₉ , ¹⁰⁰₉

Eta: och chochlik w 1) .... oczywiście 4, 12, 36

♊: Gdzieś zgubiłem tę kartkę co to na niej to zadanie liczyłem, ale wynik raczej się zgadza

anmario: Jesteś bardzo taktowną osobą Eta

Eta: He,he, .... czy to aluzja ? , bo nie bardzo wiem o co chodzi

anmario: Że na razie na tej stronie widzę tylko jedno poprawne rozwiązanie tego zadania tutaj, Twoje. Bliźniak trochę się pośpieszył z wyciąganiem wniosków i nie widzę możliwości rozwiązania idąc ścieżką jaką zasugerował po przedstawieniu swoich równań. No chyba, że czegoś nie kojarzę.

Eta: Tak , masz rację, dobrze kojarzysz Nie chciałam "dołować " bliźniaka. ( może miał dziś zły dzień) Teraz juz rozumiem ten ... "takt" Pozdrawiam.

Bogdan: Proponuję takie rozwiązanie: x, y, z − kolejne trzy wyrazy ciągu (a_n). Ciąg geom.: x, y, z, y² = xz, Ciąg arytm.: x, y + 8, z, 2y + 16 = x + z, Ciąg geom.: x, y + 8, z + 64, (y + 8)² = x(z + 64). Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy 2 rozwiązania: x₁ = 4, y₁ = 12, z₁ = 36 lub

	4		−20		100
x2 =		, y2 =		, z2 =
	9		9		9

Eta: Bogdanie W swoim rozwiązaniu chciałam sprowadzić do układu dwu równań. Układ trzech równań ... oczywiście też można rozwiązać . Jak kto woli.

anmario: Jasne, teraz to porządny układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Bardzo ładne rozwiązanie, ale nie wiem jaki cel − że ścieżka dobra, że myliłem się? Źle się wyraziłem, ale chciałem uniknąć jawnego "wytykania", że ta pomoc pomocą nie była. Ścieżka dobra, ale układu trzech równań z trzema niewiadomymi osoba zadająca ten problem w zakwestionowanym przeze mnie próbie rozwiązania raczej nie widziała.

Bogdan: Dzień dobry. Rozwiązanie układu równań: 1. y² = xz 2. 2y + 16 = x + z 3. (y + 8)² = x(z + 64) ⇒ y² + 16y + 64 = xz + 64x ⇒ y² + 16y + 64 = y² + 64x ⇒ ⇒ y + 4 = 4x ⇒ y = 4x − 4 2. 8x − 8 + 16 = x + z ⇒ z = 7x + 8 1. (4x − 4)² = xz ⇒ 16x² − 32x + 16 = xz ⇒ 16x² − 32x + 16 = 7x² + 8x ⇒ ⇒ 9x² − 40x + 16 = 0, Δ = 1024, √Δ = 32,

	4
x1 = 4, x2 =
	9

	4		−20
3. y1 = 4*4 − 4 = 12, y2 = 4*		− 4 =
	9		9

	4		100
2. z1 = 7*4 + 8 = 36, z2 = 7*		+ 8 =
	9		9

♊: anmario − nie jestem pewny czy dobrze zrozumiałem Twój post, ale chodziło mi o rozwiązanie, które zaprewzentował Bogdan Po prostu Bogdan użył oznaczenia x tam, gdzie ja oznaczyłem a₁. Może nie przedstawiłem tego dostatecznie klarownie.

anmario: Rozumiem, ok, nie przejmuj się Wyraziłem tylko opinię, że niedostatecznie jasno przedstawiłeś swoją koncepcję dodatkowo (wprawdzie przez brak precyzji w przekazywaniu myśli, ale jednak) przypadkowo odmówiłem jej trafności.