Dowód- środkowe w trójkącie Alek: Wykaż, że w dowolnym trójkącie ABC prawdziwa jest podwójna nierówność

3(a+b+c)
	< Sa + Sb + Sc < a+b+c, gdzie a, b, c oznaczają długości odpowiednich
4

boków trójkąta, S_a, S_b, S_c − długości środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków o długościach a, b, c.

ICSP: a wzór na długość środkowej jest ci znany ?

Alek: jest mi znany, ale nie poznawaliśmy go na lekcji i nie wiem czy da się zrobić to jakoś z ominięciem tego wzoru.

ICSP: ale po co sobie utrudniać życie ? Zrobienie z ominięciem wzoru najczęściej polega na wyprowadzeniu wzoru.

Alek: no dobrze, a jak zrobić to z zastosowaniem tego wzoru?

ICSP: najpierw trzeba napisać wzory dla wszystkich trzech środkowych

Alek: d=1/2 √2a²+2b²−c² e=1/2 √2b²+2c²−a² f=1/2 √2a²+2c²−b² Czy ja dobrze to rozpisałem?

ICSP: rozpisałeś dobrze ale niestety nic to nie da Ja bym stawiał na rozwiązanie geometryczne. Daj mi 10 min to napiszę całość

Alek: ok, z góry dzięki

ICSP: u mnie : |AB| = a , |BC| = b , |AC| = c i odpowiednio |BF| = S_c , |DC| = S_a , |AE| = S_b i mam : |BO| + |AO| > |AB| − dla trójkąta ABO |AO| + |CO| > |AC| − dla trójkąta ACO |BO| + |CO| > |BC| − dla trójkąta BCO 2(|BO| + |AO| + |CO|) > a + b + c

4
	(|BF| + |AE| + |CD|) > a + b + c
3

3
	(a + b + c) < Sa + Sb + Sc
4

co dowodzi lewej nierówności. Teraz trzeba dowieść prawą : |EF| + |EB| > |BF| |ED| + |DA| > |AE| |DF| + |FC| > |CD| dodając stronami dostaniesz że

	1
a + b + c > Sa + Sb + Sc (ponieważ z twierdzenia Talesa |EF| =		|AB| itd)
	2

Alek: Dzięki wielkie

as:

	1
skad wiemy, ze IEFI=		IABI ?
	2

Eta: