MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU :-)TO TYLKO JA: Hej...Pomoże ktoś? Jaki to ciąg: malejący,czy rosnący? b_n=−5n²+10

Bogdan: Odpowiedz − jak ustala się monotoniczność ciągu? Jeśli nie znasz odpowiedzi, to znajdź ją gdzieś, np. w podręczniku, w internecie wpisując hasło "monotoniczność ciągu" w GOOGLE, a także na tej stronie klikając tutaj 263

AS: Brawo Bogdan! Nareszcie ktoś mobilizuje do samodzielnej pracy, a nie podaje gotowiznę do przepisania. Taki charakter pomocy powinien występować. Wzajemna współpraca,naprowadzanie,pokaż co zrobiłeś a ja sprawdzę. Rozwiązania pełne ograniczyć do faktycznie trudnych problemów.

:-)TO TYLKO JA: b_n+1=−5(n+1)²+10 b_n+1−b_n=−5(n+1)²+10−(−5n²+10 )= =−5(n²+2n+1)+10+5n²−10= =−5n²−10n−5+10+5n²−10=−10n−5>0 malejący Czy tak jest dobrze?

:-)TO TYLKO JA: ?

Bogdan: Uwaga na zapisy: nie b_n+1, ale b_n+1, używaj nawiasów klamrowych { } do zapisywania indeksów górnych oraz dolnych zawierających więcej niż jeden znak, "n+1" ma 3 znaki. −10n − 5 = −5(2n + 1) < 0 dla n∊N₊ Ciąg (b_n) jest malejący, bo b_n+1 − b_n < 0

:-)TO TYLKO JA: Dzięki...a jak zabrać się za to? Dane są ciągi arytmetyczne 17,21...oraz 16,21... Znajdź 5 początkowych liczb,które występują zarówno w jednym,jak i w drugim ciągu?

Bogdan: Najprościej jest wypisać kilka wyrazów każdego z ciągów, wyłapać pierwsze dwa powtarzające się wyrazy (pierwszy już jest, to liczba 21) i wyznaczyć ich różnicę.

:-)TO TYLKO JA: 1 ciąg: r=4,a₁=21,a₆=41 2 ciąg:r=5,a₁=21,a₅=41 ...ale co dalej?

Bogdan: Dla różnych ciągów stosujemy różne oznaczenia: (a_n): a₁ = 17, a₂ = 21, r = 4, (b_n): b₁ = 16, b₂ = 21, r = 5, (c_n): c₁ = 21, c₂ = 41, r = 20,

Bogdan: Trzeba jeszcze obliczyć: c₃, c₄, c₅.

:-)TO TYLKO JA: Jasne c₃=c₁+2r=21+40=61 c₄=c₁+3r=21+60=81 c₅=c₁+4r=21+80=101 Wielkie dzięki Bogdanie Aaaa...mam tu jeszcze coś, do czego nie wiem jak się zabrać.. Zbadaj monotoniczność ciągu: a_n+1=a_n−3n ,gdy a₁=8

:-)TO TYLKO JA: Już domyśliłam się,że trzeba wyliczyć c

Bogdan: Można też tak: a₁ = 21, r = 20, a₂ = 21 + 20 = 41, a₃ = 41 + 20 = 61, a₄ = 61 + 20 = 81, a₅ = 81 + 20 = 101. Monotoniczność ciągu określamy odczytując znak różnicy: a_n+1 − a_n przy n∊N₊. Przenieś a_n na lewą stronę i zadanie skończone.

:-)TO TYLKO JA: No,tak.Tak jest szybciej Nie wiem,jak mam to a_n przenieść.:(

Bogdan: a_n+1 = a_n − 3n i n∊N₊ to a_n+1 − a_n = −3n < 0, ciąg a_n jest malejący, bo różnica a_n+1 − a_n jest ujemna.

:-)TO TYLKO JA: A po co podają to a₁=8? Dalej nic nie rozumiem... Podstawiam je? Za n też podstawiam sobie jakąś liczbę N₊?,np.2 a₂₊₈−a₂=−6 a₈=−6

Bogdan: To jest postać ciągu podanego w postaci rekurencyjnej. a₁ = 8 i a_n+1 = a_n − 3n. Trzeba wypisać kilka początkowych wyrazów takiego ciągu i po ich analizie wyprowadza się wzór ogólny ciągu. a₁ = 8 a₂ = 8 − 3*1 = 5 a₃ = 5 − 3*2 = −1 a₄ = −1 − 3*3 = −10 W tym przykładzie dla określenia monotoniczności ciągu jest to zbędne. Wystarczyło zauważyć, że różnica a_n+1 − a_n jest ujemna.

:-)TO TYLKO JA: No i tym mnie wprowadzili w błąd Czyli jak będzie taki przykład: a_n+1=a_n+1/√n :a_n+1−a_n=1/√n to będzie to ciąg rosnący,bo różnica jest dodatnia?

Bogdan: Tak

:-)TO TYLKO JA: Inny przykład:a_n+1=−a_n a_n+1+ a_n=0

Bogdan: Np.: a₁ = 2 a₂ = −2 a₃ = 2 a₄ = −2 itd. Taki ciąg nie jest monotoniczny. To jest ciąg naprzemienny o stałej bezwzględnej wartości.

:-)TO TYLKO JA: Aaaaa...Dzięki serdeczne za pomoc Miłego dnia. P.S.To pole trójkąta o wierzchołkach ABC u użytkowniczki" kika22c" jest dobrze wyliczone?

:-)TO TYLKO JA: OCZYWIŚCIE,ŻE TAK

Bogdan: Tam pole trójkąta P_Δ = 14