wykaż że... funkcja wymierna wojtek:

	2x
f(x)=		Wykaż, że jeśli a>b≥1, to f(a)<f(b)
	x2+1

Kompletnie nie wiem co zrobić. Jak ktoś może, to niech rozwiąże.

jikA: a > b ⇒ a − b > 0 f(a) < f(b) ⇒ f(a) − f(b) < 0

	2a
f(a) =
	a2 + 1

	2b
f(b) =
	b2 + 1

	2a		2b
f(a) − f(b) =		−		=
	a2 + 1		b2 + 1

2a(b2 + 1) − 2b(a2 + 1)
	=
(a2 + 1)(b2 + 1)

2(ab2 + a − a2b − b)
(a2 + 1)(b2 + 1)

	2(ab2 + a − a2b − b)
Teraz pokażemy że wyrażenie		jest mniejsze od 0.
	(a2 + 1)(b2 + 1)

Mianownik (a² + 1)(b² + 1) jest zawsze większe od 0 dla a , b ∊ R. Licznik 2(ab² + a − a²b − b) = 2[ab(b − a) + a − b)] 2 > 0 ab > 0 ponieważ a , b > 0 b − a < 0 ponieważ a > b a − b > 0 ponieważ a > b.

	2(ab2 + a − a2b − b)
Tak więc wyrażenie		< 0 czyli
	(a2 + 1)(b2 + 1)

f(a) < f(b) [f(a) − f(b) < 0] dla a > b ≥ 1.

jikA: Tam za szybko chciałem pokazać że spełnia. 2[ab(b − a) + a − b)] = 2[ab(b − a) − (b − a)] = 2[(b − a)(ab − 1)] 2 > 0 b − a < 0 ponieważ a > b ab − 1 > 0 ponieważ a > b ≥ 1.

wojtek: Dzięki serdeczne.

pigor: ..., np. tak : z założenia a>b i a>1 i b>1 ⇒ a−b>0 i ab>1 ⇔ a−b>1 i ab−1>0, więc

	2a		2b		2a(b2+1)−2b(a2+1)
f(a)−f(b)=		−		=		=
	a2+1		b2+1		(a2+1)(b2+1)

	2ab2+2a−2ba2−2b		−2ab(a−b)+2(a−b)
=		=		=
	(a2+1)(b2+1)		(a2+1)(b2+1)

	−2(b−a)(ab−1)
=		< 0 ⇒ f(a)<f(b) . c.n.w. . ...
	(a2+1)(b2+1)

jikA: Przepraszam że znowu się czepiam pigor ale wyrażenie −2(b − a)(ab − 1) dla podanych założeń jest większe od zera. Przez pomyłkę dałeś albo minus przed wyrażeniem +2(b − a)(ab − 1) albo w nawiasie powinno być −2(a − b)(ab − 1). Pozdrawiam.

pigor: ... dziękuję no tak masz rację , już czas na mnie iść odpoczywać.