Zadanie dla prawdziwego matematyka. Werka: Hej, czy ktoś podejmie się tego strasznego zadania? x³+2x²+x+1=0

trol: ale co trzeba z tym zrobić? może konkretniej?

Werka: Wyliczenie "iksów" plus przedstawienie metody obliczeń. Dodam, że to zadanie z automatyki. Macie chociaż jakieś rady, jak to zrobić?

ICSP: x³ + 2x² + x + 1 = 0

	2
podstawiam : x = (y −		) i mam :
	3

	2		2		2
(y −		)3 + 2(y −		)2 + y −		+ 1 = 0
	3		3		3

	4		8		8		8		1
y3 − 2y2 +		y −		+ 2y2 −		y +		+ y +
	3		27		3		9		3

	1		25
y3 −		y +		= 0
	3		27

podstawiając y = u + v oczywiste jest że :

	25
u3 + v3 = −
	27

	1
u3 * v3 =
	729

zauważam ze są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego i mam

	25		1
z2 +		z +
	27		27

	625 − 4		621		9 * 69		3√69
Δ =		=		=		⇒ √Δ =		> 0 − jeden
	729		729		272		27

pierwiastek rzeczywisty

	−25 ± 3√69
z =
	27

	1
y = 3√z1 + 3√z2 =		( 3√−25 + 3√69 + 3√−25 + 3√69)
	3

	1
x =		(−2 − 3√25 − 3√69 − 3√25 + 3√69)
	3

tyle z rzeczywistych

Trivial: Weźmy metodę Newtona. Kolejne przybliżenia pierwiastka funkcji f(x) uzyskamy stosując wzór:

	f(xk)
xk+1 = xk −
	f'(xk)

Czyli poprzez iterację funkcji

	f(x)
g(x) = x −
	f'(x)

Dla tego przykładu

	x3+2x2+x+1
g(x) = x −
	3x2+4x+1

Zacznijmy od x = −2 g(−2) = −1.8 g(−1.8) = −1.75682 g(−1.75682) = −1.75488 Rozwiązanie 'dokładne' to: x = −1.7548776662466927600

ICSP: Trivial a nie trzeba jeszcze pokazać przed zastosowaniem metody Netwona że funkcja jest : 1. Wypukła bądź wklęsła w danych przedziale 2. Posiada tylko jedno miejsce zerowe.

Trivial: 1. Chodzi chyba o to, żeby pochodna nie była zerem 'po drodze'. 2. Jest chyba niekonieczne bo i tak dojdziemy do jakiegoś miejsca zerowego. Jeżeli się zbiega to problemów nie ma. Wystarczy dobrać odpowiednio miejsce startu.

ICSP: a ja miałem w notatkach podane że musi być albo wypukła albo wklęsła Akurat w tym przypadku jest jedno miejsce zerowe, w innych przypadkach mogą być trzy i wtedy bardzo prosto pominąć pozostałe dwa i wyznaczyć tylko jedno

Trivial: Najlepiej sobie tę funkcję narysować i wybrać punkt startowy 'na oko'

ICSP: po co rysować Widać ze same plusy więc dodatniego miejsca zerowego być nie może Współczynniki również zbyt duże nie są tak więc do −5 powinno już coś byc

Trivial: Może w tym przypadku widać, ale dla jakichś szalonych funkcji lepiej sobie narysować.

ICSP: no dla szalonych to tak