suma sześcianów trzech kolejnych liczb podzielna przez 9 camel: Udowodnij, ze suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9. Oznaczyłem dane liczby a³ (a+1)³ (a+2)³ i wyliczyłem to. Ale coś mi nie chce wyjść, sprawdzałem to wielokrotnie. Proszę o pomoc i drugie Dla każdego n należącego do N₊ wyrazy ciągu spełniają dwa warunki a_n+a_n+₁= (−n²+3n+17)/(n²+1) i a_n −a_n+₁=(6n+19)/(n²+1) . Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Mila: n− pewna liczba naturalna n³+(n+1)³+(n+2)³ − suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych, n³+(n+1)³+(n+2)³ =n³+n³+3n²+3n+1+n³+6n²+12n+8= =3n³+9n²+15n+9= =9n³−6n³+6n+(9n²+9n+9)= =−6n³+6n+9(n³+n²+n+1)= =−(6n³−6n)+9(n³+n²+n+1)= =−6n(n²−1)+9(n³+n²+n+1)=−6n*(n+1)*(n−1)+9(n³+n²+n+1)= (n−1)*n*(n+1) iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 3, stąd iloczyn −6n(n²−1) jest podzielny przez 9 suma −6n*(n+1)*(n−1)+9(n³+n²+n+1)jest podzielna przez 9. łatwiej uzasadnić, że suma : (n−1)³+n³+(n+1)³ jest podzielna przez 9 (n−1)³+n³+(n+1)³ =3n³+6n masz wyżej uzasadnione

Mila: 2)dodajemy stronami

	−n2+3n+17+6n+19
2an=
	n2+1

	−n2+9n+36
2an=
	n2+1

rozwiąż nierówność:

−n2+9n+36
	>0⇔
n2+1

−n²+9n+36>0 i n∊N₊

camel: Hej MIla. Co do drugiego to ok rozumiem. A czy ógł bys mi to pierwsze jeszcze rozpisać tym drugim sposobem (prostszym).

Mila: II (n−1)³+n³+(n+1)³ =3n³+6n =9n³−6n³+6n= =9n³−6n*(n²−1)= =9n³−6n*(n−1)*(n+1)= 9n³−2*3*(n−1)*n*(n+1)jest wielokrotnością 9, ponieważ (n−1)*n*(n+1)−iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 3, stąd iloczyn 2*3*n(n²−1) jest podzielny przez 9.

camel: Dzięki wielkie Mila