pytanko zombi: Pytanko: Czy jeśli wyrazy ciągu a₁,a₂,a₃... mają tę własność, że a_n*a_n+1=n²+n to można bez straty ogólności albo jakichś rozwiązań przyjąć, że a_n=n?

Bogdan: Nie. Przykłady: 1) a_n * a_n+1 = n*(n + 1), a_n = n, a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, ... 2) a_n * a_n+1 = n*(n + 1), a₁ = 1, a_n+1 = n*(n + 1), a₂ = 2, a₃ = 6, a₄ = 12

zombi: A jak myślisz Bogdan to są jedyne dwa takie przypadki czy można ich znaleźć znacznie więcej?

ff: w przykładzie 2) : a_na_n+1 = (n−1)n * n(n+1) = n²(n²−1) (nie ma tej własności) tą własność posiadają też: a_n = 0 a_n = −n

zombi:

	a2013
Ale jeśli w zadaniu miałem podać wartość		To an=0 odpada, a an=−n wychodzi na
	a1

jedno bo minusy się redukszyn.

zombi: I to są właściwie tylko dwa takie przypadki no nie?

Bogdan: Jest nieskończenie wiele, np.:

	1
an =		, an+1 = 3n(n + 1), a2 = 6, a3 = 18, ...
	3

ff:

	1		1
sprzeczność, jeżeli an =		to an+1 =
	3		3

(a_n+1 ≠ 3n(n+1))

Bogdan: Brawo ff, gratuluję spostrzegawczości

Bogdan: proponuję poszukać sprzeczności jeszcze w innym z wyżej podanych przykładów

PW: A mógłbyś podać dokładnie treść zadania? Może niepotrzebnie usiłujesz znaleźć wzór na wyrazy ciągu. Tak "metodą babci pod piecem" widać, że a₁a₂=1(1+1) a₂a₃=2(2+1) a₃a₄=3(3+1) a₁a₂²a₃⁴a₄=3!4! Może to da się jakoś wykorzystać?

AC: Ogólny wzór: a_n = n * a₁^(−1)n−1 gdy a₁ = 1 ⇒ a_n = n ale gdy np. a₁ = 2 to a₂ = 2 * 2^(−1)2−1= 2*2⁻¹= 1 a₃ = 3 * 2^(−1)3−1= 3*2¹= 6 a₄ = 4 * 2^(−1)4−1= 4*2⁻¹= 2 a₅ = 5 * 2^(−1)5−1= 5*2¹= 10 możemy sprawdzić a₁ *a₂ = 2 * 1 = 1² + 1 a₂ *a₃ = 1 * 6 = 2² + 2 a₃ *a₄ = 6 * 2 = 3² + 3 a₄ *a₅ = 2 * 10 = 4² + 4 itd.

zombi: Treść była taka:

	a2013
Wiedząc, że ciąg liczbowy spełnia w/w zależność oblicz iloraz
	a1

ff: no tak a_n=0 odpada, ale może być ich nieskończenie wiele: a_n = k^{2 (n mod 2) − 1} n (k≠0) (n+1,n są kolejnymi liczbami− jedna z nich jest parzysta, czyli a_na_n+1 = k*k⁻¹n(n+1)) np.: ()

	a2013
co do zadania, jeżeli polega ono jedynie na wyznaczeniu:		nie musisz wyznaczać
	a1

a_n

a2013		a2 a3 ... a2013
	=		=
a1		a1 a2 ... a2012

	2*3*4*5*...*2013
		= 2013
	1*2*3*..*2012

AC:

a2013		2013 * a1−12012
	=		= 2013
a1		a1