PROblem TOmek: Znaleźć najmniejsza i najwiekszą wartosc funkcji w przedziale:

	√3−1		π		π
f(x)=sin|x|+cosx+		|x| w przedziałe [−		,		]
	2		2		2

TOmek: up

TOmek: up

Trivial: Zauważmy, że funkcja f jest parzysta. f(−x) = f(x).

	π
Zatem wystarczy że rozważymy przedział x∊[0,		]. W tym przedziale mamy:
	2

	√3−1
f(x) = sinx + cosx +		x
	2

	√3−1
f'(x) = cosx − sinx +
	2

Przyrównując pochodną do zera otrzymujemy:

	√3−1		π		π
sinx − cosx =		= cos		− sin
	2		6		6

	π		π		π
√2sin(x−		) = √2sin(		−		)
	4		4		6

π

π

π

π

π

π

x−

=

−

+ 2kπ lub x−

= −

+

+ 2kπ

4

4

6

4

4

6

	π		π
x =		+ 2kπ x =		+ 2kπ
	3		6

	π
Wybieramy te z przedziału x∊[0,		]. Dodatkowymi kandydatami na ekstremum są krańce
	2

przedziału. Podsumowując mamy zbiór kandydatów:

	π		π		π
K = { 0,		,		,		}
	6		3		2

f(0) = 1

	π		√3+1		π	√3−1
f(		) =		+			≈ 1.557
	6		2		6	2

	π		√3+1		π	√3−1
f(		) =		+			≈ 1.749
	3		2		3	2

	π		π	√3−1
f(		) = 1 +			≈ 1.574
	2		2	2

	π
Funkcja f w przedziale [0,		] osiąga wartości:
	2

minimalną dla x = 0

	π
maksymalną dla x =
	3

	π		π		π
A zatem w przedziale [−		,		] mamy także maksimum dla x = −		(parzystość
	2		2		3

funkcji f)

TOmek: dziękuje za wyczerpująca odpowiedź.

Trivial: